Страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

523 a) Один из корней уравнения $x^2 + px - 20 = 0$ равен $-5$.
Определите другой корень и коэффициент $p$.

б) Один из корней уравнения $3x^2 + px + 4 = 0$ равен $-2$.
Определите другой корень и коэффициент $p$.

а) Дано квадратное уравнение $x^2 + px - 20 = 0$ и один из его корней $x_1 = -5$. Для нахождения второго корня $x_2$ и коэффициента $p$ воспользуемся теоремой Виета.
Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$
В нашем уравнении коэффициенты $b = p$ и $c = -20$.
Используем формулу для произведения корней, чтобы найти $x_2$:
$x_1 \cdot x_2 = -20$
Подставляем известный корень $x_1 = -5$:
$(-5) \cdot x_2 = -20$
$x_2 = \frac{-20}{-5} = 4$
Теперь, зная оба корня, используем формулу для суммы корней, чтобы найти коэффициент $p$:
$x_1 + x_2 = -p$
$-5 + 4 = -p$
$-1 = -p$
$p = 1$
Ответ: другой корень равен 4, коэффициент p равен 1.

б) Дано квадратное уравнение $3x^2 + px + 4 = 0$ и один из его корней $x_1 = -2$. Для нахождения второго корня $x_2$ и коэффициента $p$ также воспользуемся теоремой Виета.
Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ теорема Виета имеет вид:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
В нашем уравнении коэффициенты $a = 3$, $b = p$ и $c = 4$.
Используем формулу для произведения корней, чтобы найти $x_2$:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{3}$
Подставляем известный корень $x_1 = -2$:
$(-2) \cdot x_2 = \frac{4}{3}$
$x_2 = \frac{4}{3} \div (-2) = \frac{4}{3 \cdot (-2)} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$
Теперь, зная оба корня, используем формулу для суммы корней, чтобы найти коэффициент $p$:
$x_1 + x_2 = -\frac{p}{3}$
$-2 + (-\frac{2}{3}) = -\frac{p}{3}$
$-\frac{6}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{p}{3}$
$-\frac{8}{3} = -\frac{p}{3}$
Умножив обе части равенства на $-3$, получаем:
$p = 8$
Ответ: другой корень равен $-\frac{2}{3}$, коэффициент p равен 8.

524 a) Один из корней уравнения $x^2 - 8x + q = 0$ равен -10. Определите другой корень и коэффициент $q$.

б) Один из корней уравнения $2x^2 + 3x + q = 0$ равен 3. Определите другой корень и коэффициент $q$.

а) Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
В нашем уравнении $x^2 - 8x + q = 0$ имеем:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.
По условию, один из корней, пусть это будет $x_1$, равен $-10$. Подставим это значение в формулу для суммы корней, чтобы найти второй корень $x_2$:
$-10 + x_2 = 8$
$x_2 = 8 + 10$
$x_2 = 18$
Теперь, зная оба корня, мы можем найти коэффициент $q$ из формулы для произведения корней:
$q = x_1 \cdot x_2 = -10 \cdot 18 = -180$
Таким образом, второй корень уравнения равен 18, а коэффициент $q$ равен -180.
Ответ: другой корень равен 18, коэффициент $q = -180$.

б) Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ по теореме Виета справедливы следующие соотношения для корней $x_1$ и $x_2$:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
В нашем уравнении $2x^2 + 3x + q = 0$ коэффициенты равны $a=2$, $b=3$, $c=q$. Тогда:
$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{q}{2}$
По условию, один из корней, пусть это будет $x_1$, равен 3. Подставим это значение в формулу для суммы корней, чтобы найти второй корень $x_2$:
$3 + x_2 = -\frac{3}{2}$
$x_2 = -\frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{9}{2} = -4.5$
Теперь найдем коэффициент $q$, используя формулу для произведения корней:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{q}{2}$
$3 \cdot (-\frac{9}{2}) = \frac{q}{2}$
$-\frac{27}{2} = \frac{q}{2}$
$q = -27$
Таким образом, второй корень уравнения равен -4.5, а коэффициент $q$ равен -27.
Ответ: другой корень равен -4.5, коэффициент $q = -27$.

525 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Найдём все целые значения p, при которых уравнение $x^2 + px + 15 = 0$ имеет целые корни.

Решение. Найдём все пары целых чисел, произведение которых равно 15:

$15 = 1 \cdot 15 = 3 \cdot 5 = (-1) \cdot (-15) = (-3) \cdot (-5)$

Соответствующие значения p равны -16, -8; 16, 8.

Найдите все целые значения p, при которых данное уравнение имеет целые корни:

а) $x^2 + px + 15 = 0$;

б) $x^2 + px - 15 = 0$;

в) $x^2 + px + 12 = 0$;

г) $x^2 + px - 12 = 0$;

д) $x^2 + px + 10 = 0$;

е) $x^2 + px - 8 = 0$;

ж) $x^2 + px + 3 = 0$;

з) $x^2 + px - 32 = 0$.

Для того чтобы квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$ имело целые корни $x_1$ и $x_2$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия теоремы Виета для целых чисел:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Из второго равенства следует, что целые корни $x_1$ и $x_2$ являются делителями свободного члена $q$. Из первого равенства можно найти все возможные целые значения $p$, зная пары корней: $p = -(x_1 + x_2)$.

Таким образом, для решения каждой задачи мы будем находить все пары целых делителей свободного члена $q$, а затем для каждой такой пары $(x_1, x_2)$ вычислять соответствующее значение $p$.

а) В уравнении $x^2 + px + 15 = 0$ свободный член $q = 15$.
Найдём все пары целых чисел $(x_1, x_2)$, произведение которых равно 15:$(1, 15)$, $(3, 5)$, $(-1, -15)$, $(-3, -5)$.
Для каждой пары корней найдём соответствующее значение $p = -(x_1 + x_2)$:
Если корни $1$ и $15$, то $p = -(1+15) = -16$.
Если корни $3$ и $5$, то $p = -(3+5) = -8$.
Если корни $-1$ и $-15$, то $p = -(-1-15) = 16$.
Если корни $-3$ и $-5$, то $p = -(-3-5) = 8$.
Ответ: $p \in \{-16, -8, 8, 16\}$.

б) В уравнении $x^2 + px - 15 = 0$ свободный член $q = -15$.
Пары целых делителей числа -15: $(1, -15)$, $(-1, 15)$, $(3, -5)$, $(-3, 5)$.
Соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1 + (-15)) = -(-14) = 14$.
$p = -(-1 + 15) = -14$.
$p = -(3 + (-5)) = -(-2) = 2$.
$p = -(-3 + 5) = -2$.
Ответ: $p \in \{-14, -2, 2, 14\}$.

в) В уравнении $x^2 + px + 12 = 0$ свободный член $q = 12$.
Пары целых делителей числа 12: $(1, 12)$, $(2, 6)$, $(3, 4)$, $(-1, -12)$, $(-2, -6)$, $(-3, -4)$.
Соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1+12) = -13$; $p = -(2+6) = -8$; $p = -(3+4) = -7$.
$p = -(-1-12) = 13$; $p = -(-2-6) = 8$; $p = -(-3-4) = 7$.
Ответ: $p \in \{-13, -8, -7, 7, 8, 13\}$.

г) В уравнении $x^2 + px - 12 = 0$ свободный член $q = -12$.
Пары целых делителей числа -12: $(1, -12)$, $(-1, 12)$, $(2, -6)$, $(-2, 6)$, $(3, -4)$, $(-3, 4)$.
Соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1-12) = 11$; $p = -(-1+12) = -11$.
$p = -(2-6) = 4$; $p = -(-2+6) = -4$.
$p = -(3-4) = 1$; $p = -(-3+4) = -1$.
Ответ: $p \in \{-11, -4, -1, 1, 4, 11\}$.

д) В уравнении $x^2 + px + 10 = 0$ свободный член $q = 10$.
Пары целых делителей числа 10: $(1, 10)$, $(2, 5)$, $(-1, -10)$, $(-2, -5)$.
Соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1+10) = -11$; $p = -(2+5) = -7$.
$p = -(-1-10) = 11$; $p = -(-2-5) = 7$.
Ответ: $p \in \{-11, -7, 7, 11\}$.

е) В уравнении $x^2 + px - 8 = 0$ свободный член $q = -8$.
Пары целых делителей числа -8: $(1, -8)$, $(-1, 8)$, $(2, -4)$, $(-2, 4)$.
Соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1-8) = 7$; $p = -(-1+8) = -7$.
$p = -(2-4) = 2$; $p = -(-2+4) = -2$.
Ответ: $p \in \{-7, -2, 2, 7\}$.

ж) В уравнении $x^2 + px + 3 = 0$ свободный член $q = 3$.
Пары целых делителей числа 3: $(1, 3)$, $(-1, -3)$.
Соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1+3) = -4$.
$p = -(-1-3) = 4$.
Ответ: $p \in \{-4, 4\}$.

з) В уравнении $x^2 + px - 32 = 0$ свободный член $q = -32$.
Пары целых делителей числа -32: $(1, -32)$, $(-1, 32)$, $(2, -16)$, $(-2, 16)$, $(4, -8)$, $(-4, 8)$.
Соответствующие значения $p = -(x_1 + x_2)$:
$p = -(1-32) = 31$; $p = -(-1+32) = -31$.
$p = -(2-16) = 14$; $p = -(-2+16) = -14$.
$p = -(4-8) = 4$; $p = -(-4+8) = -4$.
Ответ: $p \in \{-31, -14, -4, 4, 14, 31\}$.

526 Найдите все целые положительные значения $q$, при которых данное уравнение имеет целые корни:

a) $x^2 + 5x + q = 0$;

б) $x^2 - 6x + q = 0$.

Найдите несколько целых отрицательных значений $q$, при которых указанные уравнения имеют целые корни. Можно ли перечислить все такие значения $q$?

Для того чтобы квадратное уравнение с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным 1, имело целые корни, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был полным квадратом целого числа. Также можно воспользоваться теоремой Виета.

а) $x^2 + 5x + q = 0$

Чтобы найти все целые положительные значения $q$, воспользуемся теоремой Виета. Если $x_1$ и $x_2$ — целые корни уравнения, то выполняются соотношения:
$x_1 + x_2 = -5$
$x_1 \cdot x_2 = q$

Поскольку $q$ — целое положительное число ($q > 0$), корни $x_1$ и $x_2$ должны быть одного знака. Так как их сумма $x_1 + x_2 = -5$ отрицательна, оба корня являются отрицательными целыми числами. Найдем все пары отрицательных целых чисел, сумма которых равна -5:

1. $x_1 = -1, x_2 = -4$. Тогда $q = (-1) \cdot (-4) = 4$.
2. $x_1 = -2, x_2 = -3$. Тогда $q = (-2) \cdot (-3) = 6$.

Других пар (с точностью до перестановки) не существует. Следовательно, мы нашли все возможные значения $q$.

Ответ: 4, 6.

б) $x^2 - 6x + q = 0$

Аналогично, по теореме Виета для целых корней $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = 6$
$x_1 \cdot x_2 = q$

Так как $q > 0$, корни $x_1$ и $x_2$ одного знака. Поскольку их сумма $x_1 + x_2 = 6$ положительна, оба корня являются положительными целыми числами. Найдем все пары положительных целых чисел, сумма которых равна 6:

1. $x_1 = 1, x_2 = 5$. Тогда $q = 1 \cdot 5 = 5$.
2. $x_1 = 2, x_2 = 4$. Тогда $q = 2 \cdot 4 = 8$.
3. $x_1 = 3, x_2 = 3$. Тогда $q = 3 \cdot 3 = 9$.

Это все возможные пары, а значит, и все возможные значения $q$.

Ответ: 5, 8, 9.

Теперь рассмотрим вторую часть задания: найти несколько целых отрицательных значений $q$ и определить, можно ли перечислить их все.

Если $q$ — целое отрицательное число, то по теореме Виета корни $x_1$ и $x_2$ должны быть целыми числами разных знаков, так как их произведение $x_1x_2 = q$ отрицательно.

Для уравнения а) $x^2 + 5x + q = 0$, где $x_1 + x_2 = -5$, можно найти бесконечно много пар целых корней разных знаков. Например:
если $x_1 = 1$, то $x_2 = -6$, и $q = 1 \cdot (-6) = -6$;
если $x_1 = 2$, то $x_2 = -7$, и $q = 2 \cdot (-7) = -14$;
если $x_1 = 3$, то $x_2 = -8$, и $q = 3 \cdot (-8) = -24$.

Для уравнения б) $x^2 - 6x + q = 0$, где $x_1 + x_2 = 6$, ситуация аналогична. Например:
если $x_2 = -1$, то $x_1 = 7$, и $q = 7 \cdot (-1) = -7$;
если $x_2 = -2$, то $x_1 = 8$, и $q = 8 \cdot (-2) = -16$;
если $x_2 = -3$, то $x_1 = 9$, и $q = 9 \cdot (-3) = -27$.

В обоих случаях, задав один из корней как произвольное целое число (например, $n$), второй корень определяется однозначно, и их произведение дает соответствующее значение $q$. Поскольку существует бесконечно много целых чисел, можно составить бесконечно много пар корней, что приводит к бесконечному множеству значений $q$. Следовательно, перечислить все такие значения $q$ невозможно.

Ответ: Примеры целых отрицательных значений $q$ для уравнения а): -6, -14, -24. Для уравнения б): -7, -16, -27. Перечислить все такие значения $q$ невозможно, так как для каждого уравнения их множество бесконечно.

527 Составьте квадратное уравнение, корни которого:

а) на 2 меньше корней уравнения $x^2 - 187x + 148 = 0$;

б) на 3 больше корней уравнения $x^2 + 191x - 1250 = 0$.

Образец. а) Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения, которое надо составить. Тогда

$y_1 = x_1 - 2, y_2 = x_2 - 2$;

$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) - 4,$

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1 \cdot x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4.$

Доведите решение до конца.

а)

Доведем до конца решение, начатое в образце.Дано уравнение $x^2 - 187x + 148 = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-187) = 187$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 148$.

Нужно составить новое квадратное уравнение, корни которого $y_1$ и $y_2$ на 2 меньше корней исходного уравнения, то есть $y_1 = x_1 - 2$ и $y_2 = x_2 - 2$.

Для составления нового уравнения $y^2 + py + q = 0$ найдем сумму его корней $y_1+y_2 = -p$ и произведение $y_1y_2 = q$.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = (x_1 - 2) + (x_2 - 2) = (x_1 + x_2) - 4 = 187 - 4 = 183$.

Произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4 = 148 - 2(187) + 4 = 148 - 374 + 4 = -222$.

Следовательно, искомое уравнение имеет вид $y^2 - (183)y + (-222) = 0$. Запишем его с переменной $x$:

$x^2 - 183x - 222 = 0$.

Ответ: $x^2 - 183x - 222 = 0$.

б)

Дано уравнение $x^2 + 191x - 1250 = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -191$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -1250$.

Нужно составить новое квадратное уравнение, корни которого $y_1$ и $y_2$ на 3 больше корней исходного уравнения, то есть $y_1 = x_1 + 3$ и $y_2 = x_2 + 3$.

Найдем сумму и произведение новых корней.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = (x_1 + 3) + (x_2 + 3) = (x_1 + x_2) + 6 = -191 + 6 = -185$.

Произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9 = -1250 + 3(-191) + 9 = -1250 - 573 + 9 = -1814$.

Искомое уравнение имеет вид $y^2 - (-185)y + (-1814) = 0$. Запишем его с переменной $x$:

$x^2 + 185x - 1814 = 0$.

Ответ: $x^2 + 185x - 1814 = 0$.