Номер 526, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 3. Квадратные уравнения. 3.6. Теорема Виета. Упражнения - номер 526, страница 151.

Условие.

526 Найдите все целые положительные значения $q$, при которых данное уравнение имеет целые корни:

a) $x^2 + 5x + q = 0$;

б) $x^2 - 6x + q = 0$.

Найдите несколько целых отрицательных значений $q$, при которых указанные уравнения имеют целые корни. Можно ли перечислить все такие значения $q$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы квадратное уравнение с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным 1, имело целые корни, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был полным квадратом целого числа. Также можно воспользоваться теоремой Виета.

а) $x^2 + 5x + q = 0$

Чтобы найти все целые положительные значения $q$, воспользуемся теоремой Виета. Если $x_1$ и $x_2$ — целые корни уравнения, то выполняются соотношения:
$x_1 + x_2 = -5$
$x_1 \cdot x_2 = q$

Поскольку $q$ — целое положительное число ($q > 0$), корни $x_1$ и $x_2$ должны быть одного знака. Так как их сумма $x_1 + x_2 = -5$ отрицательна, оба корня являются отрицательными целыми числами. Найдем все пары отрицательных целых чисел, сумма которых равна -5:

1. $x_1 = -1, x_2 = -4$. Тогда $q = (-1) \cdot (-4) = 4$.
2. $x_1 = -2, x_2 = -3$. Тогда $q = (-2) \cdot (-3) = 6$.

Других пар (с точностью до перестановки) не существует. Следовательно, мы нашли все возможные значения $q$.

Ответ: 4, 6.

б) $x^2 - 6x + q = 0$

Аналогично, по теореме Виета для целых корней $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = 6$
$x_1 \cdot x_2 = q$

Так как $q > 0$, корни $x_1$ и $x_2$ одного знака. Поскольку их сумма $x_1 + x_2 = 6$ положительна, оба корня являются положительными целыми числами. Найдем все пары положительных целых чисел, сумма которых равна 6:

1. $x_1 = 1, x_2 = 5$. Тогда $q = 1 \cdot 5 = 5$.
2. $x_1 = 2, x_2 = 4$. Тогда $q = 2 \cdot 4 = 8$.
3. $x_1 = 3, x_2 = 3$. Тогда $q = 3 \cdot 3 = 9$.

Это все возможные пары, а значит, и все возможные значения $q$.

Ответ: 5, 8, 9.

---

Теперь рассмотрим вторую часть задания: найти несколько целых отрицательных значений $q$ и определить, можно ли перечислить их все.

Если $q$ — целое отрицательное число, то по теореме Виета корни $x_1$ и $x_2$ должны быть целыми числами разных знаков, так как их произведение $x_1x_2 = q$ отрицательно.

Для уравнения а) $x^2 + 5x + q = 0$, где $x_1 + x_2 = -5$, можно найти бесконечно много пар целых корней разных знаков. Например:
если $x_1 = 1$, то $x_2 = -6$, и $q = 1 \cdot (-6) = -6$;
если $x_1 = 2$, то $x_2 = -7$, и $q = 2 \cdot (-7) = -14$;
если $x_1 = 3$, то $x_2 = -8$, и $q = 3 \cdot (-8) = -24$.

Для уравнения б) $x^2 - 6x + q = 0$, где $x_1 + x_2 = 6$, ситуация аналогична. Например:
если $x_2 = -1$, то $x_1 = 7$, и $q = 7 \cdot (-1) = -7$;
если $x_2 = -2$, то $x_1 = 8$, и $q = 8 \cdot (-2) = -16$;
если $x_2 = -3$, то $x_1 = 9$, и $q = 9 \cdot (-3) = -27$.

В обоих случаях, задав один из корней как произвольное целое число (например, $n$), второй корень определяется однозначно, и их произведение дает соответствующее значение $q$. Поскольку существует бесконечно много целых чисел, можно составить бесконечно много пар корней, что приводит к бесконечному множеству значений $q$. Следовательно, перечислить все такие значения $q$ невозможно.

Ответ: Примеры целых отрицательных значений $q$ для уравнения а): -6, -14, -24. Для уравнения б): -7, -16, -27. Перечислить все такие значения $q$ невозможно, так как для каждого уравнения их множество бесконечно.