Номер 2, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 155.

Условие.

Что называют корнями квадратного трёхчлена? Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен и от чего зависит их число? Имеет ли корни квадратный трёхчлен $x^2 + 11x + 24$? Если имеет, найдите их.

Решение 3.

Решение 4.

Что называют корнями квадратного трёхчлена?
Корнем квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ (где $a$, $b$, $c$ – некоторые числа, и $a \neq 0$) называют такое значение переменной $x$, при котором значение этого трёхчлена равно нулю. По сути, корни квадратного трёхчлена – это решения (корни) соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Ответ: Корнями квадратного трёхчлена называют значения переменной, при которых трёхчлен обращается в ноль.

Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен и от чего зависит их число?
Квадратный трёхчлен может иметь два, один или ни одного действительного корня. Количество корней напрямую зависит от знака его дискриминанта. Дискриминант $D$ для трёхчлена $ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.
Существует три возможных случая:
1. Если $D > 0$ (дискриминант положителен), то квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня.
2. Если $D = 0$ (дискриминант равен нулю), то квадратный трёхчлен имеет ровно один действительный корень (его также называют корнем кратности 2 или двумя совпадающими корнями).
3. Если $D < 0$ (дискриминант отрицателен), то квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.
Ответ: Квадратный трёхчлен может иметь два, один или ноль корней; их число зависит от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Имеет ли корни квадратный трёхчлен $x^2 + 11x + 24$? Если имеет, найдите их.
Чтобы определить, имеет ли квадратный трёхчлен $x^2 + 11x + 24$ корни, и найти их, приравняем его к нулю и решим полученное квадратное уравнение: $x^2 + 11x + 24 = 0$.
Коэффициенты этого уравнения: $a=1$, $b=11$, $c=24$.
Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$.
Так как $D = 25 > 0$, дискриминант положителен, следовательно, квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня.
Найдём эти корни, используя формулу корней квадратного уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 - 5}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.
$x_2 = \frac{-11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 + 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Проверить результат можно с помощью теоремы Виета. Сумма корней должна быть равна $-b/a$, а их произведение $c/a$.
$x_1 + x_2 = -8 + (-3) = -11$. Это соответствует $-b/a = -11/1 = -11$.
$x_1 \cdot x_2 = (-8) \cdot (-3) = 24$. Это соответствует $c/a = 24/1 = 24$.
Расчёты верны.
Ответ: Да, квадратный трёхчлен имеет два корня: $-8$ и $-3$.