Страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Что называют корнями квадратного трёхчлена? Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен и от чего зависит их число? Имеет ли корни квадратный трёхчлен $x^2 + 11x + 24$? Если имеет, найдите их.

Что называют корнями квадратного трёхчлена?
Корнем квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ (где $a$, $b$, $c$ – некоторые числа, и $a \neq 0$) называют такое значение переменной $x$, при котором значение этого трёхчлена равно нулю. По сути, корни квадратного трёхчлена – это решения (корни) соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Ответ: Корнями квадратного трёхчлена называют значения переменной, при которых трёхчлен обращается в ноль.

Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен и от чего зависит их число?
Квадратный трёхчлен может иметь два, один или ни одного действительного корня. Количество корней напрямую зависит от знака его дискриминанта. Дискриминант $D$ для трёхчлена $ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.
Существует три возможных случая:
1. Если $D > 0$ (дискриминант положителен), то квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня.
2. Если $D = 0$ (дискриминант равен нулю), то квадратный трёхчлен имеет ровно один действительный корень (его также называют корнем кратности 2 или двумя совпадающими корнями).
3. Если $D < 0$ (дискриминант отрицателен), то квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.
Ответ: Квадратный трёхчлен может иметь два, один или ноль корней; их число зависит от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Имеет ли корни квадратный трёхчлен $x^2 + 11x + 24$? Если имеет, найдите их.
Чтобы определить, имеет ли квадратный трёхчлен $x^2 + 11x + 24$ корни, и найти их, приравняем его к нулю и решим полученное квадратное уравнение: $x^2 + 11x + 24 = 0$.
Коэффициенты этого уравнения: $a=1$, $b=11$, $c=24$.
Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$.
Так как $D = 25 > 0$, дискриминант положителен, следовательно, квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня.
Найдём эти корни, используя формулу корней квадратного уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 - 5}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.
$x_2 = \frac{-11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 + 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Проверить результат можно с помощью теоремы Виета. Сумма корней должна быть равна $-b/a$, а их произведение $c/a$.
$x_1 + x_2 = -8 + (-3) = -11$. Это соответствует $-b/a = -11/1 = -11$.
$x_1 \cdot x_2 = (-8) \cdot (-3) = 24$. Это соответствует $c/a = 24/1 = 24$.
Расчёты верны.
Ответ: Да, квадратный трёхчлен имеет два корня: $-8$ и $-3$.

Всегда ли квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители? Сформулируйте соответствующие утверждения (фрагмент 2). Какой из трёхчленов $x^2 + 4x + 5$ и $x^2 + 4x - 5$ можно разложить на линейные множители, а какой — нельзя?

Всегда ли квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители?

Нет, не всякий квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители. Возможность разложения напрямую зависит от того, имеет ли соответствующее квадратное уравнение действительные корни. Если действительных корней нет, то и разложить трёхчлен на линейные множители с действительными коэффициентами невозможно.

Ответ: Не всегда.

Сформулируйте соответствующие утверждения

Утверждения, определяющие возможность разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на линейные множители, основываются на знаке его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Ответ:

• Если дискриминант $D > 0$, то уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня ($x_1$ и $x_2$), и трёхчлен раскладывается на множители по формуле: $a(x - x_1)(x - x_2)$.
• Если дискриминант $D = 0$, то уравнение имеет один действительный корень ($x_1$), и трёхчлен раскладывается на множители по формуле: $a(x - x_1)^2$.
• Если дискриминант $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней, и, следовательно, квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Какой из трёхчленов $x^2 + 4x + 5$ и $x^2 + 4x - 5$ можно разложить на линейные множители, а какой — нельзя?

Чтобы ответить на этот вопрос, проанализируем каждый трёхчлен, вычислив его дискриминант.

1. Рассмотрим трёхчлен $x^2 + 4x + 5$.
Здесь коэффициенты $a=1, b=4, c=5$.
Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, у данного трёхчлена нет действительных корней, и его нельзя разложить на линейные множители.

2. Рассмотрим трёхчлен $x^2 + 4x - 5$.
Здесь коэффициенты $a=1, b=4, c=-5$.
Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Поскольку дискриминант $D > 0$, у данного трёхчлена есть два действительных корня, и его можно разложить на линейные множители. Найдём эти корни, решив уравнение $x^2 + 4x - 5 = 0$:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 6}{2}$.
$x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5$
Теперь выполним разложение по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 4x - 5 = 1 \cdot (x - 1)(x - (-5)) = (x-1)(x+5)$.

Ответ: Трёхчлен $x^2 + 4x - 5$ можно разложить на линейные множители: $(x-1)(x+5)$. Трёхчлен $x^2 + 4x + 5$ разложить на линейные множители нельзя.

Запишите формулу разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители. Запишите формулу разложения на множители для квадратного трёхчлена вида $x^2 + px + q$. Разложите на множители трёхчлен $5x^2 + 3x - 2$.

Запишите формулу разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители.

Чтобы разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни $x_1$ и $x_2$ соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни вычисляются с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Если $D \ge 0$, уравнение имеет действительные корни, которые находятся по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Формула разложения квадратного трёхчлена на множители имеет вид:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Если $D < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Запишите формулу разложения на множители для квадратного трёхчлена вида $x^2 + px + q$.

Квадратный трёхчлен вида $x^2 + px + q$ является приведённым, так как его старший коэффициент равен 1. Это частный случай общей формулы, где $a=1$, $b=p$, $c=q$.

Формула разложения для такого трёхчлена выглядит следующим образом:

$x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$

Здесь $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $x^2 + px + q = 0$. Их можно найти не только через дискриминант, но и по теореме Виета, если они целые: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.

Ответ: $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Разложите на множители трёхчлен $5x^2 + 3x - 2$.

Для разложения трёхчлена $5x^2 + 3x - 2$ воспользуемся общей формулой $a(x - x_1)(x - x_2)$. В данном случае коэффициенты равны $a=5$, $b=3$, $c=-2$.

1. Найдём корни уравнения $5x^2 + 3x - 2 = 0$.

2. Рассчитаем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.

3. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле корней квадратного уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 - 7}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.

4. Подставим значения коэффициента $a$ и корней $x_1$, $x_2$ в формулу разложения:

$5x^2 + 3x - 2 = 5(x - \frac{2}{5})(x - (-1)) = 5(x - \frac{2}{5})(x + 1)$.

Чтобы избавиться от дроби, внесём множитель 5 в первую скобку:

$5(x - \frac{2}{5}) = 5x - 5 \cdot \frac{2}{5} = 5x - 2$.

В итоге получаем разложение: $(5x - 2)(x + 1)$.

Ответ: $5x^2 + 3x - 2 = (5x - 2)(x + 1)$.

531 Найдите корни квадратного трёхчлена:

а) $x^2 - 15x + 50;$

б) $2x^2 + 9x + 4;$

в) $3x^2 - 2x - 1;$

г) $x^2 + 14x + 48.$

а) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $x^2 - 15x + 50$, нужно приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 15x + 50 = 0$
Это приведённое квадратное уравнение, где коэффициенты $a=1$, $b=-15$, $c=50$.
Решим уравнение через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 225 - 200 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Ответ: 5; 10.

б) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $2x^2 + 9x + 4$, решим уравнение $2x^2 + 9x + 4 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=9$, $c=4$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 7}{4} = \frac{-16}{4} = -4$
Ответ: -4; -0.5.

в) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $3x^2 - 2x - 1$, решим уравнение $3x^2 - 2x - 1 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=-2$, $c=-1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$; 1.

г) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $x^2 + 14x + 48$, решим уравнение $x^2 + 14x + 48 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=14$, $c=48$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 2}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
$x_2 = \frac{-14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 2}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Ответ: -8; -6.

532 Определите, можно ли разложить на линейные множители квадратный трёхчлен:

а) $x^2 - 12x - 4;$

б) $3x^2 + 8x + 10;$

в) $2x^2 + 3x + 1;$

г) $x^2 - 5x + 8.$

Чтобы определить, можно ли разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на линейные множители, необходимо найти дискриминант соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D \ge 0$, то уравнение имеет действительные корни, и трёхчлен можно разложить на линейные множители.
• Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней, и трёхчлен нельзя разложить на линейные множители (в поле действительных чисел).

а) $x^2 - 12x - 4$

Для данного трёхчлена коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -12$, $c = -4$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 144 + 16 = 160$.
Поскольку $D = 160 > 0$, трёхчлен имеет два действительных корня, а значит, его можно разложить на линейные множители.

Ответ: можно.

б) $3x^2 + 8x + 10$

Для данного трёхчлена коэффициенты равны: $a = 3$, $b = 8$, $c = 10$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 64 - 120 = -56$.
Поскольку $D = -56 < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней, а значит, его нельзя разложить на линейные множители.

Ответ: нельзя.

в) $2x^2 + 3x + 1$

Для данного трёхчлена коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 3$, $c = 1$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Поскольку $D = 1 > 0$, трёхчлен имеет два действительных корня, а значит, его можно разложить на линейные множители.

Ответ: можно.

г) $x^2 - 5x + 8$

Для данного трёхчлена коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -5$, $c = 8$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$.
Поскольку $D = -7 < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней, а значит, его нельзя разложить на линейные множители.

Ответ: нельзя.

Разложите на множители (533—535).

533 а) $m^2 + 3m - 18;$

б) $b^2 + 9b + 8;$

в) $d^2 + 11d + 18;$

г) $a^2 + a - 6;$

д) $n^2 - 4n - 60;$

е) $x^2 - 23x + 60.$

а) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $m^2 + 3m - 18$, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $m^2 + 3m - 18 = 0$. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ разложение на множители имеет вид $(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Найдем корни с помощью теоремы Виета:

• Сумма корней: $m_1 + m_2 = -3$
• Произведение корней: $m_1 \cdot m_2 = -18$

Подбором находим, что корни равны $m_1 = 3$ и $m_2 = -6$. Действительно, $3 + (-6) = -3$ и $3 \cdot (-6) = -18$. Следовательно, разложение на множители будет: $m^2 + 3m - 18 = (m - 3)(m - (-6)) = (m - 3)(m + 6)$.
Ответ: $(m - 3)(m + 6)$.

б) Для разложения на множители трехчлена $b^2 + 9b + 8$ решим уравнение $b^2 + 9b + 8 = 0$. По теореме Виета:

• $b_1 + b_2 = -9$
• $b_1 \cdot b_2 = 8$

Методом подбора находим корни: $b_1 = -1$ и $b_2 = -8$. Проверка: $(-1) + (-8) = -9$ и $(-1) \cdot (-8) = 8$. Следовательно, разложение имеет вид: $b^2 + 9b + 8 = (b - (-1))(b - (-8)) = (b + 1)(b + 8)$.
Ответ: $(b + 1)(b + 8)$.

в) Разложим на множители $d^2 + 11d + 18$. Для этого найдем корни уравнения $d^2 + 11d + 18 = 0$. По теореме Виета:

• $d_1 + d_2 = -11$
• $d_1 \cdot d_2 = 18$

Подбираем корни: $d_1 = -2$ и $d_2 = -9$. Проверка: $(-2) + (-9) = -11$ и $(-2) \cdot (-9) = 18$. Таким образом, разложение на множители: $d^2 + 11d + 18 = (d - (-2))(d - (-9)) = (d + 2)(d + 9)$.
Ответ: $(d + 2)(d + 9)$.

г) Чтобы разложить на множители $a^2 + a - 6$, решим квадратное уравнение $a^2 + a - 6 = 0$. По теореме Виета:

• $a_1 + a_2 = -1$
• $a_1 \cdot a_2 = -6$

Подбором находим корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = -3$. Проверка: $2 + (-3) = -1$ и $2 \cdot (-3) = -6$. Разложение на множители: $a^2 + a - 6 = (a - 2)(a - (-3)) = (a - 2)(a + 3)$.
Ответ: $(a - 2)(a + 3)$.

д) Разложим на множители $n^2 - 4n - 60$, найдя корни уравнения $n^2 - 4n - 60 = 0$. Решим уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$. Корни уравнения: $n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$. $n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6$. Используя формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$, получаем: $n^2 - 4n - 60 = (n - 10)(n - (-6)) = (n - 10)(n + 6)$.
Ответ: $(n - 10)(n + 6)$.

е) Разложим на множители $x^2 - 23x + 60$. Для этого решим уравнение $x^2 - 23x + 60 = 0$. По теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = 23$
• $x_1 \cdot x_2 = 60$

Подбором находим корни. Множители числа 60, которые в сумме дают 23, это 3 и 20. Значит, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 20$. Разложение на множители: $x^2 - 23x + 60 = (x - 3)(x - 20)$.
Ответ: $(x - 3)(x - 20)$.

534 a) $21 + 10n + n^2;$

Б) $14 - 9k + k^2;$

В) $42 - 13b + b^2;$

Г) $48 - 14c + c^2.$

а)

Для того чтобы разложить на множители трехчлен $21 + 10n + n^2$, представим его в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $n$: $n^2 + 10n + 21$.

Задача сводится к нахождению двух чисел, произведение которых равно свободному члену (21), а их сумма — коэффициенту при $n$ (10). Обозначим эти числа как $p$ и $q$. Они должны удовлетворять системе уравнений:
$p \cdot q = 21$
$p + q = 10$

Методом подбора находим, что числа 3 и 7 удовлетворяют этим условиям, так как $3 \cdot 7 = 21$ и $3 + 7 = 10$.

Следовательно, трехчлен можно представить в виде произведения двух двучленов:
$n^2 + 10n + 21 = (n + 3)(n + 7)$.

Проверка: $(n + 3)(n + 7) = n^2 + 7n + 3n + 21 = n^2 + 10n + 21$.

Ответ: $(n + 3)(n + 7)$.

б)

Представим трехчлен $14 - 9k + k^2$ в стандартном виде: $k^2 - 9k + 14$.

Ищем два числа $p$ и $q$, произведение которых равно 14, а сумма равна -9:
$p \cdot q = 14$
$p + q = -9$

Поскольку произведение положительное, а сумма отрицательная, оба числа должны быть отрицательными. Методом подбора находим, что такими числами являются -2 и -7, так как $(-2) \cdot (-7) = 14$ и $(-2) + (-7) = -9$.

Таким образом, разложение трехчлена на множители будет следующим:
$k^2 - 9k + 14 = (k - 2)(k - 7)$.

Проверка: $(k - 2)(k - 7) = k^2 - 7k - 2k + 14 = k^2 - 9k + 14$.

Ответ: $(k - 2)(k - 7)$.

в)

Представим трехчлен $42 - 13b + b^2$ в стандартном виде: $b^2 - 13b + 42$.

Ищем два числа $p$ и $q$, произведение которых равно 42, а сумма равна -13:
$p \cdot q = 42$
$p + q = -13$

Произведение положительное, а сумма отрицательная, значит, оба числа отрицательные. Подбираем числа: -6 и -7. Проверяем: $(-6) \cdot (-7) = 42$ и $(-6) + (-7) = -13$. Условия выполняются.

Следовательно, разложение трехчлена на множители:
$b^2 - 13b + 42 = (b - 6)(b - 7)$.

Проверка: $(b - 6)(b - 7) = b^2 - 7b - 6b + 42 = b^2 - 13b + 42$.

Ответ: $(b - 6)(b - 7)$.

г)

Представим трехчлен $48 - 14c + c^2$ в стандартном виде: $c^2 - 14c + 48$.

Ищем два числа $p$ и $q$, произведение которых равно 48, а сумма равна -14:
$p \cdot q = 48$
$p + q = -14$

Так как произведение положительное, а сумма отрицательная, оба числа отрицательные. Методом подбора находим, что это числа -6 и -8. Проверяем: $(-6) \cdot (-8) = 48$ и $(-6) + (-8) = -14$. Условия выполняются.

Таким образом, разложение трехчлена на множители:
$c^2 - 14c + 48 = (c - 6)(c - 8)$.

Проверка: $(c - 6)(c - 8) = c^2 - 8c - 6c + 48 = c^2 - 14c + 48$.

Ответ: $(c - 6)(c - 8)$.

535 a) $2x^2 + 3x + 1;$

В) $-4z^2 + 11z + 3;$

Д) $3 - 11m + 6m^2;$

б) $3y^2 + 7y - 6;$

Г) $3a^2 + 7a + 2;$

е) $2 + 9n + 7n^2.$

а) $2x^2 + 3x + 1$

Для разложения квадратного трехчлена на множители, необходимо найти его корни. Приравняем трехчлен к нулю: $2x^2 + 3x + 1 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=2$, $b=3$, $c=1$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$2x^2 + 3x + 1 = 2(x - (-1))(x - (-\frac{1}{2})) = 2(x+1)(x+\frac{1}{2})$.

Внесем множитель 2 в скобку $(x+\frac{1}{2})$:

$2(x+1)(x+\frac{1}{2}) = (x+1)(2x+1)$.

Ответ: $(x+1)(2x+1)$.

б) $3y^2 + 7y - 6$

Найдем корни уравнения $3y^2 + 7y - 6 = 0$. Здесь $a=3$, $b=7$, $c=-6$.

Дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

$y_2 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Производим разложение: $3(y - (-3))(y - \frac{2}{3}) = 3(y+3)(y-\frac{2}{3})$.

Внесем множитель 3 в скобку $(y-\frac{2}{3})$:

$3(y+3)(y-\frac{2}{3}) = (y+3)(3y-2)$.

Ответ: $(y+3)(3y-2)$.

в) $-4z^2 + 11z + 3$

Найдем корни уравнения $-4z^2 + 11z + 3 = 0$. Здесь $a=-4$, $b=11$, $c=3$.

Дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 3 = 121 + 48 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$z_1 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 \cdot (-4)} = \frac{-11 - 13}{-8} = \frac{-24}{-8} = 3$

$z_2 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot (-4)} = \frac{-11 + 13}{-8} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$

Производим разложение: $-4(z - 3)(z - (-\frac{1}{4})) = -4(z - 3)(z + \frac{1}{4})$.

Внесем множитель -4 в скобку $(z + \frac{1}{4})$:

$-4(z - 3)(z + \frac{1}{4}) = (z-3)(-4z-1) = -(z-3)(4z+1) = (3-z)(4z+1)$.

Ответ: $(3-z)(4z+1)$.

г) $3a^2 + 7a + 2$

Найдем корни уравнения $3a^2 + 7a + 2 = 0$. Здесь $a=3$, $b=7$, $c=2$.

Дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 5}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

$a_2 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 5}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Производим разложение: $3(a - (-2))(a - (-\frac{1}{3})) = 3(a+2)(a+\frac{1}{3})$.

Внесем множитель 3 в скобку $(a+\frac{1}{3})$:

$3(a+2)(a+\frac{1}{3}) = (a+2)(3a+1)$.

Ответ: $(a+2)(3a+1)$.

д) $3 - 11m + 6m^2$

Перепишем трехчлен в стандартном виде: $6m^2 - 11m + 3$.

Найдем корни уравнения $6m^2 - 11m + 3 = 0$. Здесь $a=6$, $b=-11$, $c=3$.

Дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 121 - 72 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$m_1 = \frac{11 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{11 - 7}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$m_2 = \frac{11 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{11 + 7}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Производим разложение: $6(m - \frac{1}{3})(m - \frac{3}{2})$.

Представим 6 как $3 \cdot 2$ и распределим множители по скобкам:

$3(m - \frac{1}{3}) \cdot 2(m - \frac{3}{2}) = (3m - 1)(2m - 3)$.

Ответ: $(3m-1)(2m-3)$.

е) $2 + 9n + 7n^2$

Перепишем трехчлен в стандартном виде: $7n^2 + 9n + 2$.

Найдем корни уравнения $7n^2 + 9n + 2 = 0$. Здесь $a=7$, $b=9$, $c=2$.

Дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения:

$n_1 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 - 5}{14} = \frac{-14}{14} = -1$

$n_2 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 + 5}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$

Производим разложение: $7(n - (-1))(n - (-\frac{2}{7})) = 7(n+1)(n+\frac{2}{7})$.

Внесем множитель 7 в скобку $(n+\frac{2}{7})$:

$7(n+1)(n+\frac{2}{7}) = (n+1)(7n+2)$.

Ответ: $(n+1)(7n+2)$.

536 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

В каком случае верно представлено разложение квадратного трёхчлена $3x^2 - 4x - 4$ на линейные множители?

1) $(x + \frac{2}{3})(x - 2)$

2) $(x - \frac{2}{3})(x - 2)$

3) $3(x + \frac{2}{3})(x - 2)$

4) $3(x - \frac{2}{3})(x - 2)$

Для того чтобы разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на линейные множители, используется формула: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
В нашем случае дан трёхчлен $3x^2 - 4x - 4$. Для него коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -4$, $c = -4$.

Сначала найдем корни уравнения $3x^2 - 4x - 4 = 0$. Для этого вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Теперь подставим найденные корни $x_1 = 2$, $x_2 = -\frac{2}{3}$ и старший коэффициент $a = 3$ в формулу разложения:
$a(x - x_1)(x - x_2) = 3(x - 2)(x - (-\frac{2}{3})) = 3(x - 2)(x + \frac{2}{3})$

Записав сомножители в другом порядке, получим $3(x + \frac{2}{3})(x - 2)$.
Сравнивая это выражение с предложенными вариантами, видим, что оно соответствует варианту под номером 3.

Для проверки можно выполнить обратное действие — раскрыть скобки в ответе 3:
$3(x + \frac{2}{3})(x - 2) = 3(x^2 - 2x + \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}) = 3(x^2 - \frac{6}{3}x + \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}) = 3(x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{4}{3}) = 3x^2 - 4x - 4$
Полученное выражение совпадает с исходным трёхчленом, что подтверждает правильность выбора.

Ответ: 3