Страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

561 В школе 400 учащихся ежедневно покупают завтрак, стоимость которого 30 р. Если столовая поднимет цену на завтрак, то повышение на каждые 5 р. приведёт к тому, что 10 школьников начнут приносить завтрак из дома. Если, однако, цена станет выше 100 р., то никто из учащихся не будет завтракать в столовой. Когда цена была поднята, столовая получила за день на 3200 р. больше, чем обычно. Сколько школьников перестали покупать завтрак в столовой?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение. Сначала определим первоначальную и новую дневную выручку столовой.

Первоначальная выручка составляла:

$400 \text{ учащихся} \times 30 \text{ р.} = 12000 \text{ р.}$

После повышения цены выручка увеличилась на 3200 р. и стала равна:

$12000 \text{ р.} + 3200 \text{ р.} = 15200 \text{ р.}$

Пусть $x$ — это количество повышений цены на 5 рублей. Каждое такое повышение приводит к тому, что 10 школьников отказываются от завтрака. Тогда новую цену $P$ и новое количество покупателей $N$ можно выразить через $x$. Новая цена завтрака составит $P = 30 + 5x$ рублей, а новое количество учащихся, покупающих завтрак, будет $N = 400 - 10x$ человек.

Новая выручка $R_{\text{новая}}$ равна произведению новой цены на новое количество учащихся. Подставим известные значения и выражения:

$R_{\text{новая}} = P \times N$

$15200 = (30 + 5x)(400 - 10x)$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки:

$15200 = 30 \times 400 - 30 \times 10x + 5x \times 400 - 5x \times 10x$

$15200 = 12000 - 300x + 2000x - 50x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$50x^2 - 1700x + 15200 - 12000 = 0$

$50x^2 - 1700x + 3200 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 50:

$x^2 - 34x + 64 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-34)^2 - 4 \times 1 \times 64 = 1156 - 256 = 900$

Корни уравнения равны:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{34 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{34 \pm 30}{2}$

Получаем два возможных решения для $x$:

$x_1 = \frac{34 + 30}{2} = \frac{64}{2} = 32$

$x_2 = \frac{34 - 30}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь необходимо проверить оба корня на соответствие условию задачи. В задаче сказано, что если цена станет выше 100 р., то никто не будет покупать завтрак.

При $x_1 = 32$ новая цена составит $P = 30 + 5 \times 32 = 190$ р. Эта цена выше 100 р., поэтому, согласно условию, никто не должен покупать завтрак. Следовательно, этот корень не является решением задачи.

При $x_2 = 2$ новая цена составит $P = 30 + 5 \times 2 = 40$ р. Эта цена меньше 100 р., поэтому это допустимое решение.

Вопрос задачи — сколько школьников перестали покупать завтрак. Это количество равно $10x$.

Поскольку $x=2$, количество школьников, переставших покупать завтрак, составляет:

$10 \times 2 = 20$

Проверим: новое количество покупателей $400 - 20 = 380$. Новая цена 40 р. Новая выручка $380 \times 40 = 15200$ р. Увеличение выручки $15200 - 12000 = 3200$ р. Все условия выполнены.

Ответ: 20 школьников перестали покупать завтрак в столовой.

562 Магазин покупает на оптовом складе партию тетрадей в 500 штук по цене 4 р. за тетрадь. Увеличение партии на каждые 50 тетрадей приводит к снижению цены одной тетради на 20 к. Эта скидка сохраняется только в том случае, если общая партия не превышает 750 тетрадей. Магазин дополнительно заплатил ещё 210 р. На сколько тетрадей увеличилась закупаемая партия?

1. Определим начальную и итоговую стоимость закупки.

Изначально магазин покупал 500 тетрадей по 4 рубля за штуку. Начальная стоимость партии ($C_0$) составляла:
$C_0 = 500 \times 4 = 2000$ рублей.

Магазин заплатил дополнительно 210 рублей, значит итоговая стоимость закупки ($C_1$) составила:
$C_1 = 2000 + 210 = 2210$ рублей.

2. Составим уравнение.

Пусть $x$ — это количество увеличений партии на 50 тетрадей. Каждое такое увеличение снижает цену на 20 копеек (0,2 рубля).
Новое количество тетрадей ($Q_1$): $Q_1 = 500 + 50x$.
Новая цена за тетрадь ($P_1$): $P_1 = 4 - 0.2x$.

Итоговая стоимость — это произведение нового количества на новую цену:
$(500 + 50x)(4 - 0.2x) = 2210$.

3. Решим уравнение.

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2000 - 100x + 200x - 10x^2 = 2210$.

Приведем подобные слагаемые и запишем в виде стандартного квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:
$10x^2 - 100x + 210 = 0$.

Разделим уравнение на 10 для упрощения:
$x^2 - 10x + 21 = 0$.

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 10, а их произведение — 21. Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$.

4. Проверим корни на соответствие условию.

По условию, скидка действует, только если общая партия не превышает 750 тетрадей:
$500 + 50x \le 750$.

Решим это неравенство относительно $x$:
$50x \le 250$
$x \le 5$.

Из двух найденных корней только $x = 3$ удовлетворяет этому условию ($3 \le 5$). Корень $x = 7$ не подходит, так как $7 > 5$. Следовательно, верное решение $x=3$.

5. Найдем, на сколько увеличилась партия.

Увеличение партии равно $50x$. Подставляя действительное значение $x = 3$, получаем:
$50 \times 3 = 150$ тетрадей.

Ответ: закупаемая партия увеличилась на 150 тетрадей.

563 Уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$. Запишите уравнение, корни которого равны:

a) $mx_1$ и $mx_2$;

б) $\frac{m}{x_1}$ и $\frac{m}{x_2}$.

Дано квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета, для этого уравнения справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Чтобы найти новое квадратное уравнение, мы воспользуемся обратной теоремой Виета. Если $y_1$ и $y_2$ — корни искомого уравнения, то его можно записать в виде $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0$. Мы найдем сумму и произведение новых корней и подставим их в эту формулу.

a) $mx_1$ и $mx_2$;

Пусть новые корни равны $y_1 = mx_1$ и $y_2 = mx_2$. Найдем их сумму и произведение.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = mx_1 + mx_2 = m(x_1 + x_2) = m \cdot \left(-\frac{b}{a}\right) = -\frac{mb}{a}$

Произведение новых корней:

$y_1 y_2 = (mx_1)(mx_2) = m^2(x_1 x_2) = m^2 \cdot \frac{c}{a} = \frac{m^2c}{a}$

Теперь подставим найденные сумму и произведение в общую формулу квадратного уравнения $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0$:

$y^2 - \left(-\frac{mb}{a}\right)y + \frac{m^2c}{a} = 0$

$y^2 + \frac{mb}{a}y + \frac{m^2c}{a} = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $a$ (при условии, что $a \neq 0$, что следует из того, что исходное уравнение является квадратным):

$a y^2 + mb y + m^2c = 0$

Заменив переменную $y$ на $x$ для соответствия стандартной записи, получаем искомое уравнение.

Ответ: $ax^2 + mbx + m^2c = 0$.

б) $\frac{m}{x_1}$ и $\frac{m}{x_2}$.

Пусть новые корни равны $y_1 = \frac{m}{x_1}$ и $y_2 = \frac{m}{x_2}$. Для существования этих корней необходимо, чтобы $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$, что означает $c \neq 0$ (так как $x_1 x_2 = c/a$). Найдем сумму и произведение новых корней.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = \frac{m}{x_1} + \frac{m}{x_2} = m\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\right) = m\left(\frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}\right) = m \cdot \frac{-b/a}{c/a} = m \cdot \left(-\frac{b}{c}\right) = -\frac{mb}{c}$

Произведение новых корней:

$y_1 y_2 = \frac{m}{x_1} \cdot \frac{m}{x_2} = \frac{m^2}{x_1 x_2} = \frac{m^2}{c/a} = \frac{am^2}{c}$

Подставим найденные значения в формулу $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0$:

$y^2 - \left(-\frac{mb}{c}\right)y + \frac{am^2}{c} = 0$

$y^2 + \frac{mb}{c}y + \frac{am^2}{c} = 0$

Умножим обе части уравнения на $c$ (при условии $c \neq 0$):

$c y^2 + mb y + am^2 = 0$

Заменив переменную $y$ на $x$, получаем искомое уравнение.

Ответ: $cx^2 + mbx + am^2 = 0$.

564 Дано уравнение $x^2 - 39x + 324 = 0$. Не вычисляя корней $x_1$ и $x_2$ данного уравнения, найдите:

$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

$x_1^2 + x_2^2$

$(x_1 - x_2)^2 + 4x_1x_2$

$x_1^3 + x_2^3$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, согласно которой сумма корней $x_1 + x_2 = -p$ и произведение корней $x_1x_2 = q$.

В данном уравнении $x^2 - 39x + 324 = 0$ коэффициенты $p = -39$ и $q = 324$.

Следовательно, по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-39) = 39$.

Произведение корней: $x_1x_2 = 324$.

Теперь, используя эти значения, найдем значения заданных выражений.

$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения суммы и произведения корней напрямую в выражение:

$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (39)^2 - 2 \cdot 324 = 1521 - 648 = 873$.

Ответ: 873.

$x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, преобразуем выражение, выделив полный квадрат суммы:

$x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим известные значения:

$(39)^2 - 2 \cdot 324 = 1521 - 648 = 873$.

Ответ: 873.

$(x_1 - x_2)^2 + 4x_1x_2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x_1 - x_2)^2 + 4x_1x_2 = (x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2) + 4x_1x_2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2$.

Подставим известное значение суммы корней:

$(x_1 + x_2)^2 = (39)^2 = 1521$.

Ответ: 1521.

$x_1^3 + x_2^3$

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и преобразуем ее для использования известных нам величин:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 3x_1x_2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2)$.

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$(39) \cdot ((39)^2 - 3 \cdot 324) = 39 \cdot (1521 - 972) = 39 \cdot 549 = 21411$.

Ответ: 21411.

565 Напишите два каких-нибудь квадратных трёхчлена, имеющие одни и те же корни, равные:

a) -4 и 5;

б) -2 и $\frac{1}{3}$;

в) $1\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$.

Квадратный трёхчлен, имеющий корни $x_1$ и $x_2$, можно представить в виде произведения $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a$ — произвольный коэффициент, не равный нулю. Чтобы составить два разных квадратных трёхчлена с одинаковыми корнями, достаточно выбрать два различных значения для коэффициента $a$.

а) Корни равны -4 и 5.

Общий вид трёхчлена с корнями $x_1 = -4$ и $x_2 = 5$ записывается как $a(x - (-4))(x - 5) = a(x + 4)(x - 5)$.

1. Выберем коэффициент $a = 1$.
Трёхчлен будет иметь вид: $1 \cdot (x + 4)(x - 5) = x^2 - 5x + 4x - 20 = x^2 - x - 20$.

2. Выберем другой коэффициент, например, $a = 2$.
Трёхчлен будет иметь вид: $2 \cdot (x + 4)(x - 5) = 2(x^2 - x - 20) = 2x^2 - 2x - 40$.

Ответ: $x^2 - x - 20$ и $2x^2 - 2x - 40$.

б) Корни равны -2 и $-\frac{1}{3}$.

Общий вид трёхчлена с корнями $x_1 = -2$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$ записывается как $a(x - (-2))(x - (-\frac{1}{3})) = a(x + 2)(x + \frac{1}{3})$.

1. Для удобства и получения целых коэффициентов выберем $a$ равным знаменателю дроби, то есть $a = 3$.
Трёхчлен будет иметь вид: $3(x + 2)(x + \frac{1}{3}) = (x + 2)(3x + 1) = 3x^2 + x + 6x + 2 = 3x^2 + 7x + 2$.

2. Выберем другой коэффициент, например, умножим полученный трёхчлен на 2 (что эквивалентно выбору $a = 6$).
Трёхчлен будет иметь вид: $2(3x^2 + 7x + 2) = 6x^2 + 14x + 4$.

Ответ: $3x^2 + 7x + 2$ и $6x^2 + 14x + 4$.

в) Корни равны $1\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$.

Переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Корни: $x_1 = \frac{3}{2}$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.
Общий вид трёхчлена: $a(x - \frac{3}{2})(x - \frac{2}{3})$.

1. Для получения целых коэффициентов выберем $a$ равным наименьшему общему кратному знаменателей 2 и 3, то есть $a = 6$.
Трёхчлен будет иметь вид: $6(x - \frac{3}{2})(x - \frac{2}{3}) = 2(x - \frac{3}{2}) \cdot 3(x - \frac{2}{3}) = (2x - 3)(3x - 2) = 6x^2 - 4x - 9x + 6 = 6x^2 - 13x + 6$.

2. Выберем другой коэффициент, например, умножим полученный трёхчлен на -1 (что эквивалентно выбору $a = -6$).
Трёхчлен будет иметь вид: $-1 \cdot (6x^2 - 13x + 6) = -6x^2 + 13x - 6$.

Ответ: $6x^2 - 13x + 6$ и $-6x^2 + 13x - 6$.

566 Докажите, что:

а) $\frac{a+2}{a-5} - \frac{3a}{a^2-7a+10} - \frac{2}{a-2} = \frac{3-a}{5-a};$

б) $1 + \frac{a-4}{a-3} - \frac{a}{a+4} - \frac{7a}{a^2+a-12} = \frac{a-7}{a-3}.$

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала разложим на множители знаменатель второй дроби $a^2 - 7a + 10$. Корнями квадратного уравнения $a^2 - 7a + 10 = 0$ являются $a_1=2$ и $a_2=5$ (согласно теореме Виета), следовательно, $a^2 - 7a + 10 = (a-2)(a-5)$.

Теперь приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(a-2)(a-5)$:

$\frac{a+2}{a-5} - \frac{3a}{(a-2)(a-5)} - \frac{2}{a-2} = \frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)(a-5)} - \frac{3a}{(a-2)(a-5)} - \frac{2(a-5)}{(a-2)(a-5)}$

Запишем все под одним знаменателем и упростим числитель:

$\frac{(a+2)(a-2) - 3a - 2(a-5)}{(a-2)(a-5)} = \frac{a^2-4 - 3a - 2a+10}{(a-2)(a-5)} = \frac{a^2-5a+6}{(a-2)(a-5)}$

Разложим на множители получившийся числитель $a^2-5a+6$. Корни уравнения $a^2-5a+6=0$ равны $a_1=2$ и $a_2=3$. Таким образом, $a^2-5a+6 = (a-2)(a-3)$.

Подставим это в наше выражение и сократим дробь на общий множитель $(a-2)$:

$\frac{(a-2)(a-3)}{(a-2)(a-5)} = \frac{a-3}{a-5}$

Теперь преобразуем правую часть исходного равенства:

$\frac{3-a}{5-a} = \frac{-(a-3)}{-(a-5)} = \frac{a-3}{a-5}$

Поскольку преобразованная левая часть равна преобразованной правой части, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала разложим на множители знаменатель $a^2 + a - 12$. Корнями уравнения $a^2 + a - 12 = 0$ являются $a_1=3$ и $a_2=-4$, следовательно, $a^2 + a - 12 = (a-3)(a+4)$.

Теперь приведем все слагаемые в левой части к общему знаменателю $(a-3)(a+4)$:

$1 + \frac{a-4}{a-3} - \frac{a}{a+4} - \frac{7a}{(a-3)(a+4)} = \frac{(a-3)(a+4)}{(a-3)(a+4)} + \frac{(a-4)(a+4)}{(a-3)(a+4)} - \frac{a(a-3)}{(a-3)(a+4)} - \frac{7a}{(a-3)(a+4)}$

Запишем все под одним знаменателем и упростим числитель, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:

$\frac{(a^2+a-12) + (a^2-16) - (a^2-3a) - 7a}{(a-3)(a+4)} = \frac{a^2+a-12+a^2-16-a^2+3a-7a}{(a-3)(a+4)}$

$\frac{(a^2+a^2-a^2) + (a+3a-7a) + (-12-16)}{(a-3)(a+4)} = \frac{a^2-3a-28}{(a-3)(a+4)}$

Разложим на множители получившийся числитель $a^2-3a-28$. Корни уравнения $a^2-3a-28=0$ равны $a_1=7$ и $a_2=-4$. Таким образом, $a^2-3a-28 = (a-7)(a+4)$.

Подставим это в наше выражение и сократим дробь на общий множитель $(a+4)$:

$\frac{(a-7)(a+4)}{(a-3)(a+4)} = \frac{a-7}{a-3}$

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

567 Упростите выражение:

а) $\frac{3a}{a^3-1} - \frac{3}{a^2+a+1} - \frac{1}{a-1};$

б) $\frac{2}{a+2} - \frac{6}{a^2-2a+4} - \frac{24}{a^3+8}.$

а) $ \frac{3a}{a^3 - 1} - \frac{3}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1} $

Чтобы упростить выражение, приведем все дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби является формулой разности кубов: $ a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1) $.

Таким образом, наименьший общий знаменатель для всех трех дробей равен $ (a - 1)(a^2 + a + 1) $.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (a - 1) $, а третьей дроби — на $ (a^2 + a + 1) $:

$ \frac{3a}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{3(a - 1)}{(a^2 + a + 1)(a - 1)} - \frac{1(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним вычитание их числителей:

$ \frac{3a - 3(a - 1) - (a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{3a - 3a + 3 - a^2 - a - 1}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{-a^2 - a + 2}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

Разложим числитель $ -a^2 - a + 2 $ на множители. Для этого найдем корни уравнения $ -a^2 - a + 2 = 0 $. Умножим на -1: $ a^2 + a - 2 = 0 $. По теореме Виета, корни $ a_1 = 1 $ и $ a_2 = -2 $. Тогда $ -a^2 - a + 2 = -(a-1)(a+2) $.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $ (a - 1) $:

$ \frac{-(a - 1)(a + 2)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = -\frac{a + 2}{a^2 + a + 1} $

Ответ: $ -\frac{a + 2}{a^2 + a + 1} $

б) $ \frac{2}{a + 2} - \frac{6}{a^2 - 2a + 4} - \frac{24}{a^3 + 8} $

Для приведения дробей к общему знаменателю разложим знаменатели на множители. Знаменатель третьей дроби является формулой суммы кубов: $ a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - 2a + 4) $.

Наименьший общий знаменатель равен $ (a + 2)(a^2 - 2a + 4) $.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $ (a^2 - 2a + 4) $, для второй — $ (a + 2) $. Третья дробь уже имеет нужный знаменатель.

$ \frac{2(a^2 - 2a + 4)}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} - \frac{6(a + 2)}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} - \frac{24}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} $

Объединим дроби, выполняя действия с числителями:

$ \frac{2(a^2 - 2a + 4) - 6(a + 2) - 24}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{2a^2 - 4a + 8 - 6a - 12 - 24}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} = \frac{2a^2 - 10a - 28}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} $

Разложим числитель $ 2a^2 - 10a - 28 $ на множители. Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки: $ 2(a^2 - 5a - 14) $. Затем разложим квадратный трехчлен $ a^2 - 5a - 14 $. Его корнями являются $ a_1 = 7 $ и $ a_2 = -2 $. Таким образом, $ a^2 - 5a - 14 = (a-7)(a+2) $.

Весь числитель равен $ 2(a - 7)(a + 2) $.

Подставим разложение в дробь и сократим на общий множитель $ (a + 2) $:

$ \frac{2(a - 7)(a + 2)}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} = \frac{2(a - 7)}{a^2 - 2a + 4} $

Ответ: $ \frac{2(a - 7)}{a^2 - 2a + 4} $