Номер 561, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 3. Квадратные уравнения. Дополнительные задания - номер 561, страница 162.

Условие.

561 В школе 400 учащихся ежедневно покупают завтрак, стоимость которого 30 р. Если столовая поднимет цену на завтрак, то повышение на каждые 5 р. приведёт к тому, что 10 школьников начнут приносить завтрак из дома. Если, однако, цена станет выше 100 р., то никто из учащихся не будет завтракать в столовой. Когда цена была поднята, столовая получила за день на 3200 р. больше, чем обычно. Сколько школьников перестали покупать завтрак в столовой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение. Сначала определим первоначальную и новую дневную выручку столовой.

Первоначальная выручка составляла:

$400 \text{ учащихся} \times 30 \text{ р.} = 12000 \text{ р.}$

После повышения цены выручка увеличилась на 3200 р. и стала равна:

$12000 \text{ р.} + 3200 \text{ р.} = 15200 \text{ р.}$

Пусть $x$ — это количество повышений цены на 5 рублей. Каждое такое повышение приводит к тому, что 10 школьников отказываются от завтрака. Тогда новую цену $P$ и новое количество покупателей $N$ можно выразить через $x$. Новая цена завтрака составит $P = 30 + 5x$ рублей, а новое количество учащихся, покупающих завтрак, будет $N = 400 - 10x$ человек.

Новая выручка $R_{\text{новая}}$ равна произведению новой цены на новое количество учащихся. Подставим известные значения и выражения:

$R_{\text{новая}} = P \times N$

$15200 = (30 + 5x)(400 - 10x)$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки:

$15200 = 30 \times 400 - 30 \times 10x + 5x \times 400 - 5x \times 10x$

$15200 = 12000 - 300x + 2000x - 50x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$50x^2 - 1700x + 15200 - 12000 = 0$

$50x^2 - 1700x + 3200 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 50:

$x^2 - 34x + 64 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-34)^2 - 4 \times 1 \times 64 = 1156 - 256 = 900$

Корни уравнения равны:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{34 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{34 \pm 30}{2}$

Получаем два возможных решения для $x$:

$x_1 = \frac{34 + 30}{2} = \frac{64}{2} = 32$

$x_2 = \frac{34 - 30}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь необходимо проверить оба корня на соответствие условию задачи. В задаче сказано, что если цена станет выше 100 р., то никто не будет покупать завтрак.

При $x_1 = 32$ новая цена составит $P = 30 + 5 \times 32 = 190$ р. Эта цена выше 100 р., поэтому, согласно условию, никто не должен покупать завтрак. Следовательно, этот корень не является решением задачи.

При $x_2 = 2$ новая цена составит $P = 30 + 5 \times 2 = 40$ р. Эта цена меньше 100 р., поэтому это допустимое решение.

Вопрос задачи — сколько школьников перестали покупать завтрак. Это количество равно $10x$.

Поскольку $x=2$, количество школьников, переставших покупать завтрак, составляет:

$10 \times 2 = 20$

Проверим: новое количество покупателей $400 - 20 = 380$. Новая цена 40 р. Новая выручка $380 \times 40 = 15200$ р. Увеличение выручки $15200 - 12000 = 3200$ р. Все условия выполнены.

Ответ: 20 школьников перестали покупать завтрак в столовой.