Номер 564, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 564, страница 162.

Условие.

564 Дано уравнение $x^2 - 39x + 324 = 0$. Не вычисляя корней $x_1$ и $x_2$ данного уравнения, найдите:

$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

$x_1^2 + x_2^2$

$(x_1 - x_2)^2 + 4x_1x_2$

$x_1^3 + x_2^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, согласно которой сумма корней $x_1 + x_2 = -p$ и произведение корней $x_1x_2 = q$.

В данном уравнении $x^2 - 39x + 324 = 0$ коэффициенты $p = -39$ и $q = 324$.

Следовательно, по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-39) = 39$.

Произведение корней: $x_1x_2 = 324$.

Теперь, используя эти значения, найдем значения заданных выражений.

$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения суммы и произведения корней напрямую в выражение:

$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (39)^2 - 2 \cdot 324 = 1521 - 648 = 873$.

Ответ: 873.

$x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, преобразуем выражение, выделив полный квадрат суммы:

$x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим известные значения:

$(39)^2 - 2 \cdot 324 = 1521 - 648 = 873$.

Ответ: 873.

$(x_1 - x_2)^2 + 4x_1x_2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x_1 - x_2)^2 + 4x_1x_2 = (x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2) + 4x_1x_2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2$.

Подставим известное значение суммы корней:

$(x_1 + x_2)^2 = (39)^2 = 1521$.

Ответ: 1521.

$x_1^3 + x_2^3$

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и преобразуем ее для использования известных нам величин:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 3x_1x_2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2)$.

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$(39) \cdot ((39)^2 - 3 \cdot 324) = 39 \cdot (1521 - 972) = 39 \cdot 549 = 21411$.

Ответ: 21411.