Номер 557, страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 557, страница 161.

Условие.

557 a) $x^2 + 1 - \frac{x^2 + 3}{3} = \frac{x^2 + 2}{2} - \frac{x^2 + 4}{4}$;

б) $\frac{(x-2)^2}{12} - \frac{(x-1)^2}{3} = \frac{(x-3)^2}{9} - \frac{(x-2)^2}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^2 + 1 - \frac{x^2 + 3}{3} = \frac{x^2 + 2}{2} - \frac{x^2 + 4}{4}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 2 и 4), которое равно 12.

$12 \cdot (x^2 + 1) - 12 \cdot \frac{x^2 + 3}{3} = 12 \cdot \frac{x^2 + 2}{2} - 12 \cdot \frac{x^2 + 4}{4}$

Выполним умножение и сократим дроби:

$12(x^2 + 1) - 4(x^2 + 3) = 6(x^2 + 2) - 3(x^2 + 4)$

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

$12x^2 + 12 - 4x^2 - 12 = 6x^2 + 12 - 3x^2 - 12$

Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях:

$(12x^2 - 4x^2) + (12 - 12) = (6x^2 - 3x^2) + (12 - 12)$

$8x^2 = 3x^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$8x^2 - 3x^2 = 0$

$5x^2 = 0$

Разделим обе части на 5:

$x^2 = 0$

Отсюда следует, что $x=0$.

Ответ: $x=0$.

---

б) $\frac{(x - 2)^2}{12} - \frac{(x - 1)^2}{3} = \frac{(x - 3)^2}{9} - \frac{(x - 2)^2}{4}$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей (12, 3, 9, 4). НОК(12, 3, 9, 4) = 36. Умножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от дробей:

$36 \cdot \frac{(x - 2)^2}{12} - 36 \cdot \frac{(x - 1)^2}{3} = 36 \cdot \frac{(x - 3)^2}{9} - 36 \cdot \frac{(x - 2)^2}{4}$

Сократим дроби:

$3(x - 2)^2 - 12(x - 1)^2 = 4(x - 3)^2 - 9(x - 2)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$3(x^2 - 4x + 4) - 12(x^2 - 2x + 1) = 4(x^2 - 6x + 9) - 9(x^2 - 4x + 4)$

Теперь раскроем скобки, умножая на коэффициенты:

$3x^2 - 12x + 12 - 12x^2 + 24x - 12 = 4x^2 - 24x + 36 - 9x^2 + 36x - 36$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$(3x^2 - 12x^2) + (-12x + 24x) + (12 - 12) = (4x^2 - 9x^2) + (-24x + 36x) + (36 - 36)$

$-9x^2 + 12x = -5x^2 + 12x$

Вычтем $12x$ из обеих частей уравнения:

$-9x^2 = -5x^2$

Перенесем все члены с $x^2$ в одну сторону:

$-9x^2 + 5x^2 = 0$

$-4x^2 = 0$

Разделим на -4:

$x^2 = 0$

Следовательно, $x=0$.

Ответ: $x=0$.