Страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

555 a) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0;$

б) $x^4 + 8x^2 - 9 = 0;$

В) $9x^4 - 82x^2 + 9 = 0;$

Г) $4x^4 + 9x^2 + 2 = 0.$

а) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.

Подставим $y$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 6y + 8 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = 6$ и произведение корней $y_1 \cdot y_2 = 8$. Отсюда находим корни:

$y_1 = 2$

$y_2 = 4$

Оба корня ($2$ и $4$) являются положительными, поэтому удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1) $x^2 = y_1 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$

2) $x^2 = y_2 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm\sqrt{4} \Rightarrow x = \pm2$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-2; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 2$.

б) $x^4 + 8x^2 - 9 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$y^2 + 8y - 9 = 0$

Решим его. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = -8$ и $y_1 \cdot y_2 = -9$. Корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = -9$

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

$y_1 = 1$ подходит, так как $1 > 0$.

$y_2 = -9$ не подходит, так как $-9 < 0$. Этот корень является посторонним.

Выполним обратную замену для подходящего корня:

$x^2 = y_1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm\sqrt{1} \Rightarrow x = \pm1$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1; 1$.

в) $9x^4 - 82x^2 + 9 = 0$

Снова имеем биквадратное уравнение. Пусть $y = x^2$, при условии $y \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное:

$9y^2 - 82y + 9 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-82)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 - 324 = 6400$

$\sqrt{D} = \sqrt{6400} = 80$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{82 + 80}{2 \cdot 9} = \frac{162}{18} = 9$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{82 - 80}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Оба корня ($9$ и $\frac{1}{9}$) положительны, значит, оба подходят.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 = y_1 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm\sqrt{9} \Rightarrow x = \pm3$

2) $x^2 = y_2 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{3}$

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3; -\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; 3$.

г) $4x^4 + 9x^2 + 2 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $y = x^2$, $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$4y^2 + 9y + 2 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$

$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$

Оба полученных корня для $y$ отрицательны: $y_1 = -\frac{1}{4} < 0$ и $y_2 = -2 < 0$.

Они не удовлетворяют условию $y \ge 0$, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у исходного уравнения нет действительных корней.

Ответ: нет корней.

556 a) $x - 6\sqrt{x} + 5 = 0;$

б) $3x - 10\sqrt{x} + 3 = 0;$

В) $5x - 6\sqrt{x} + 1 = 0;$

Г) $2x + 3\sqrt{x} - 2 = 0.$

а) $x - 6\sqrt{x} + 5 = 0$

Данное уравнение решается методом введения новой переменной. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным.

Введем замену: пусть $t = \sqrt{x}$. Так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$. Тогда $x = (\sqrt{x})^2 = t^2$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Получилось квадратное уравнение относительно переменной $t$. Его можно решить с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Отсюда находим корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 5$

Оба корня, 1 и 5, удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1) При $t = 1$, имеем $\sqrt{x} = 1$. Возводим обе части в квадрат: $x = 1^2 = 1$.

2) При $t = 5$, имеем $\sqrt{x} = 5$. Возводим обе части в квадрат: $x = 5^2 = 25$.

Оба найденных значения $x$ (1 и 25) удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $1; 25$.

б) $3x - 10\sqrt{x} + 3 = 0$

ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.

Выполним замену переменной: пусть $t = \sqrt{x}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения:

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Для решения найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Найдем корни для $t$ по формуле:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$

$t_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Оба корня, $\frac{1}{3}$ и 3, удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) При $t = \frac{1}{3}$, имеем $\sqrt{x} = \frac{1}{3}$, откуда $x = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

2) При $t = 3$, имеем $\sqrt{x} = 3$, откуда $x = 3^2 = 9$.

Оба значения $x$ ($\frac{1}{9}$ и 9) входят в ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{9}; 9$.

в) $5x - 6\sqrt{x} + 1 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену: пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставим в уравнение:

$5t^2 - 6t + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно заметить, что сумма коэффициентов $5 + (-6) + 1 = 0$. В этом случае один из корней равен 1, а второй равен $\frac{c}{a}$.

$t_1 = 1$

$t_2 = \frac{1}{5}$

Оба корня, 1 и $\frac{1}{5}$, положительны и удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) При $t = 1$, имеем $\sqrt{x} = 1$, откуда $x = 1^2 = 1$.

2) При $t = \frac{1}{5}$, имеем $\sqrt{x} = \frac{1}{5}$, откуда $x = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$.

Оба корня, 1 и $\frac{1}{25}$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{25}; 1$.

г) $2x + 3\sqrt{x} - 2 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену: пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Уравнение примет вид:

$2t^2 + 3t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни для $t$:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

$t_1 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $t_2 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня:

При $t = \frac{1}{2}$, имеем $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$, откуда $x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Найденное значение $x = \frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

557 a) $x^2 + 1 - \frac{x^2 + 3}{3} = \frac{x^2 + 2}{2} - \frac{x^2 + 4}{4}$;

б) $\frac{(x-2)^2}{12} - \frac{(x-1)^2}{3} = \frac{(x-3)^2}{9} - \frac{(x-2)^2}{4}$.

а) $x^2 + 1 - \frac{x^2 + 3}{3} = \frac{x^2 + 2}{2} - \frac{x^2 + 4}{4}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 2 и 4), которое равно 12.

$12 \cdot (x^2 + 1) - 12 \cdot \frac{x^2 + 3}{3} = 12 \cdot \frac{x^2 + 2}{2} - 12 \cdot \frac{x^2 + 4}{4}$

Выполним умножение и сократим дроби:

$12(x^2 + 1) - 4(x^2 + 3) = 6(x^2 + 2) - 3(x^2 + 4)$

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

$12x^2 + 12 - 4x^2 - 12 = 6x^2 + 12 - 3x^2 - 12$

Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях:

$(12x^2 - 4x^2) + (12 - 12) = (6x^2 - 3x^2) + (12 - 12)$

$8x^2 = 3x^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$8x^2 - 3x^2 = 0$

$5x^2 = 0$

Разделим обе части на 5:

$x^2 = 0$

Отсюда следует, что $x=0$.

Ответ: $x=0$.

б) $\frac{(x - 2)^2}{12} - \frac{(x - 1)^2}{3} = \frac{(x - 3)^2}{9} - \frac{(x - 2)^2}{4}$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей (12, 3, 9, 4). НОК(12, 3, 9, 4) = 36. Умножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от дробей:

$36 \cdot \frac{(x - 2)^2}{12} - 36 \cdot \frac{(x - 1)^2}{3} = 36 \cdot \frac{(x - 3)^2}{9} - 36 \cdot \frac{(x - 2)^2}{4}$

Сократим дроби:

$3(x - 2)^2 - 12(x - 1)^2 = 4(x - 3)^2 - 9(x - 2)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$3(x^2 - 4x + 4) - 12(x^2 - 2x + 1) = 4(x^2 - 6x + 9) - 9(x^2 - 4x + 4)$

Теперь раскроем скобки, умножая на коэффициенты:

$3x^2 - 12x + 12 - 12x^2 + 24x - 12 = 4x^2 - 24x + 36 - 9x^2 + 36x - 36$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$(3x^2 - 12x^2) + (-12x + 24x) + (12 - 12) = (4x^2 - 9x^2) + (-24x + 36x) + (36 - 36)$

$-9x^2 + 12x = -5x^2 + 12x$

Вычтем $12x$ из обеих частей уравнения:

$-9x^2 = -5x^2$

Перенесем все члены с $x^2$ в одну сторону:

$-9x^2 + 5x^2 = 0$

$-4x^2 = 0$

Разделим на -4:

$x^2 = 0$

Следовательно, $x=0$.

Ответ: $x=0$.

558 a) Периметр прямоугольника равен $38 \text{ см}$. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна $84 \text{ см}^2$.

б) Детская площадка прямоугольной формы обнесена забором, длина которого $48 \text{ м}$. Найдите длины сторон этой площадки, если её площадь равна $140 \text{ м}^2$.

а)

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$. Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, а площадь ($S$) — по формуле $S = a \cdot b$. По условиям задачи мы имеем систему из двух уравнений:

$2(a+b) = 38$

$a \cdot b = 84$

Из первого уравнения найдем сумму длин сторон:

$a+b = \frac{38}{2}$

$a+b = 19$

Теперь наша система выглядит так:

$a+b = 19$

$a \cdot b = 84$

Такую систему можно решить методом подстановки, что приведет к квадратному уравнению. Выразим $a$ из первого уравнения: $a = 19 - b$. Подставим полученное выражение во второе уравнение:

$(19 - b) \cdot b = 84$

Раскроем скобки:

$19b - b^2 = 84$

Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$b^2 - 19b + 84 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = k^2 - 4ac$:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 361 - 336 = 25$

Теперь найдем корни уравнения (значения стороны $b$):

$b_1 = \frac{-(-19) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{19 + 5}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$b_2 = \frac{-(-19) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{19 - 5}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Мы получили два возможных значения для одной из сторон. Найдем вторую сторону для каждого случая:

Если $b_1 = 12$ см, то $a_1 = 19 - 12 = 7$ см.

Если $b_2 = 7$ см, то $a_2 = 19 - 7 = 12$ см.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 7 см и 12 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 7 см и 12 см.

б)

Длина забора, которым обнесена площадка, — это ее периметр. Таким образом, периметр прямоугольной площадки $P = 48$ м, а ее площадь $S = 140$ м². Пусть длины сторон площадки равны $a$ и $b$. Составим систему уравнений, аналогичную предыдущей задаче:

$2(a+b) = 48$

$a \cdot b = 140$

Из первого уравнения выразим сумму сторон:

$a+b = \frac{48}{2}$

$a+b = 24$

Выразим одну переменную через другую, например, $a = 24 - b$. Подставим это выражение в уравнение площади:

$(24 - b) \cdot b = 140$

$24b - b^2 = 140$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$b^2 - 24b + 140 = 0$

Решим уравнение через дискриминант $D = k^2 - 4ac$:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 140 = 576 - 560 = 16$

Найдем корни уравнения:

$b_1 = \frac{-(-24) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$b_2 = \frac{-(-24) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Найдем вторую сторону для каждого из найденных значений:

Если $b_1 = 14$ м, то $a_1 = 24 - 14 = 10$ м.

Если $b_2 = 10$ м, то $a_2 = 24 - 10 = 14$ м.

Следовательно, длины сторон площадки равны 10 м и 14 м.

Ответ: длины сторон площадки равны 10 м и 14 м.

559 Имеется прямоугольный кусок фанеры площадью $240 \text{ дм}^2$. Из него изготовили квадратную крышку для ящика. Для этого от фанеры отпилили с одной стороны полосу шириной $5 \text{ дм}$, а с другой — шириной $6 \text{ дм}$. Определите размеры получившейся крышки.

Пусть сторона получившейся квадратной крышки равна $x$ дм.

Согласно условию задачи, эту крышку изготовили из прямоугольного куска фанеры, отпилив с одной стороны полосу шириной 5 дм, а с другой — полосу шириной 6 дм. Это значит, что первоначальные размеры прямоугольного куска фанеры были $(x + 5)$ дм и $(x + 6)$ дм.

Площадь исходного куска фанеры была равна 240 дм². Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому мы можем составить уравнение:
$(x + 5)(x + 6) = 240$

Раскроем скобки в левой части уравнения и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 6x + 5x + 30 = 240$
$x^2 + 11x + 30 - 240 = 0$
$x^2 + 11x - 210 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 121 + 840 = 961$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$
$x_1 = \frac{-11 + 31}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-11 - 31}{2 \cdot 1} = \frac{-42}{2} = -21$

Поскольку $x$ обозначает длину стороны крышки, это значение должно быть положительным. Следовательно, корень $x_2 = -21$ не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственным решением является $x = 10$ дм. Размеры получившейся квадратной крышки — 10 дм на 10 дм.

Ответ: размеры получившейся крышки 10 дм × 10 дм.

560 В Третьяковской галерее висит картина художника Богданова-Бельского «Устный счёт». На классной доске записано выражение

$\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365}$.

В числителе — сумма квадратов пяти последовательных целых чисел.

Ученики могут найти значение этого выражения устно, если они заметят, что сумма квадратов первых трёх из них равна сумме квадратов последних двух (проверьте!)

Существуют ли ещё пять последовательных целых чисел, которые обладают таким же свойством?

Подсказка. Вычисления будут проще, если при составлении уравнения буквой обозначить второе число.

Для того чтобы ответить на вопрос, существуют ли ещё наборы из пяти последовательных целых чисел с указанным свойством, нужно составить и решить обобщенное уравнение. Свойство заключается в том, что сумма квадратов первых трёх чисел в последовательности равна сумме квадратов последних двух.

Воспользуемся подсказкой и обозначим второе число в последовательности переменной $n$. Тогда пять последовательных целых чисел можно представить в виде: $n-1, n, n+1, n+2, n+3$.

Теперь запишем свойство в виде математического уравнения:
$(n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2 + (n+3)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности, и упростим обе части уравнения.
Левая часть:
$(n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 3n^2 - 2n + 2n + 1 + 1 = 3n^2 + 2$
Правая часть:
$(n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 6n + 9) = 2n^2 + 4n + 6n + 4 + 9 = 2n^2 + 10n + 13$

Приравняем левую и правую части:
$3n^2 + 2 = 2n^2 + 10n + 13$

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$3n^2 - 2n^2 - 10n + 2 - 13 = 0$
$n^2 - 10n - 11 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
По теореме Виета, сумма корней равна $10$, а их произведение равно $-11$. Этим условиям удовлетворяют числа $11$ и $-1$.
Проверим через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144 = 12^2$
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = 11$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 12}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Мы получили два возможных значения для второго числа в последовательности, а значит, существует всего два набора чисел, удовлетворяющих заданному свойству.

Первый набор (при $n = 11$):
Последовательность: $10, 11, 12, 13, 14$. Это набор, упомянутый в условии задачи.
Проверка: $10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365$. Сумма квадратов последних двух: $13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$. Свойство выполняется ($365=365$).

Второй набор (при $n = -1$):
Последовательность: $-2, -1, 0, 1, 2$. Это и есть искомый второй набор.
Проверка: $(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 4 + 1 + 0 = 5$. Сумма квадратов последних двух: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. Свойство также выполняется ($5=5$).

Таким образом, кроме набора чисел из условия задачи, существует ещё один набор из пяти последовательных целых чисел, обладающий тем же свойством.

Ответ: Да, существует. Это последовательность чисел: $-2, -1, 0, 1, 2$.