Страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

15 Разложите, если возможно, на множители квадратный трёхчлен

$2x^2 + 15x + 25.$

1) это невозможно

2) $(x + 5)(2x + 5)$

3) $(x + 5)(x + 2,5)$

4) $2(x + 5)(x + 0,5)$

Для того чтобы разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если корни $x_1$ и $x_2$ существуют, то разложение имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$.

В нашем случае дан трёхчлен $2x^2 + 15x + 25$. Приравняем его к нулю, чтобы найти корни: $2x^2 + 15x + 25 = 0$.
Коэффициенты этого уравнения: $a = 2$, $b = 15$, $c = 25$.

Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 225 - 200 = 25$.

Так как $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что трёхчлен можно разложить на множители. Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-15 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 - 5}{4} = \frac{-20}{4} = -5$
$x_2 = \frac{-15 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 + 5}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$

Теперь подставим коэффициент $a=2$ и найденные корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -2,5$ в формулу разложения на множители:
$2x^2 + 15x + 25 = 2(x - (-5))(x - (-2,5)) = 2(x + 5)(x + 2,5)$.

Чтобы привести полученное выражение к одному из предложенных в задании вариантов, внесём множитель $2$ во вторую скобку:
$2(x + 5)(x + 2,5) = (x + 5) \cdot [2 \cdot (x + 2,5)] = (x + 5)(2x + 5)$.

Полученное выражение $(x + 5)(2x + 5)$ в точности совпадает с вариантом ответа под номером 2. Для проверки можно раскрыть скобки: $(x + 5)(2x + 5) = 2x^2 + 5x + 10x + 25 = 2x^2 + 15x + 25$.

Ответ: 2) $(x + 5)(2x + 5)$

16 Прочитайте задачу: «Одно число на 5 меньше другого. Сумма большего числа и квадрата меньшего равна 17. Найдите эти числа». Обозначьте меньшее число буквой $x$. Какое уравнение соответствует условию задачи?

1) $x^2 + 11x + 8 = 0$

2) $x^2 + x - 12 = 0$

3) $x^2 - 9x + 8 = 0$

4) $x^2 + x - 22 = 0$

Для того чтобы определить, какое уравнение соответствует условию задачи, необходимо перевести текстовое описание в математическую модель. Давайте сделаем это по шагам.

1. Введем переменные. По условию, меньшее из двух чисел следует обозначить буквой $x$.

Меньшее число: $x$

2. Выразим второе число через $x$. В задаче сказано: «Одно число на 5 меньше другого». Это означает, что разница между числами равна 5. Если $x$ — меньшее число, то большее число будет на 5 больше, то есть:

Большее число: $x + 5$

3. Составим уравнение на основе оставшейся части условия. «Сумма большего числа и квадрата меньшего равна 17». Запишем это в виде уравнения:

(Большее число) + (Квадрат меньшего числа) = 17

Подставим выражения для чисел, которые мы определили на предыдущих шагах:

$(x + 5) + x^2 = 17$

4. Преобразуем полученное уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные члены.

$x^2 + x + 5 = 17$

$x^2 + x + 5 - 17 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

5. Сравним полученное уравнение с предложенными вариантами ответа. Уравнение $x^2 + x - 12 = 0$ совпадает с вариантом под номером 2.

Ответ: 2) $x^2 + x - 12 = 0$

17 Решите задачу, условие которой сформулировано в предыдущем задании.

Задача №17 не может быть решена, так как ее условие, согласно тексту на изображении, сформулировано в предыдущем задании. Текст или изображение предыдущего задания не были предоставлены.

Для получения развернутого решения, пожалуйста, предоставьте полное условие задачи.

Ответ: Требуется условие задачи из предыдущего задания.

18 С вертолёта, летящего на высоте 120 м, на луг сброшен груз с начальной скоростью 10 м/с. Через сколько секунд груз приземлится? (Воспользуйтесь формулой $h = vt + 5t^2$.)

Для нахождения времени, через которое груз приземлится, воспользуемся предложенной в задаче формулой, описывающей движение тела при падении:

$h = vt + 5t^2$

Здесь $h$ — это высота, $v$ — начальная скорость, а $t$ — время. По условию задачи нам известны следующие величины:

• Высота $h = 120$ м.
• Начальная скорость $v = 10$ м/с.

Подставим эти значения в формулу, чтобы составить уравнение относительно неизвестной переменной $t$ (время):

$120 = 10t + 5t^2$

Мы получили квадратное уравнение. Для его решения перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду $at^2 + bt + c = 0$:

$5t^2 + 10t - 120 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 5:

$\frac{5t^2}{5} + \frac{10t}{5} - \frac{120}{5} = 0$

$t^2 + 2t - 24 = 0$

Теперь решим полученное приведенное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=2$, $c=-24$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$

Корень из дискриминанта равен $\sqrt{100} = 10$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-2 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-2 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6$

Уравнение имеет два корня: 4 и -6. Поскольку время в физической задаче не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -6$ не имеет физического смысла. Следовательно, единственным правильным решением является $t_1 = 4$.

Ответ: груз приземлится через 4 секунды.