Страница 166 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1. Решите уравнение $2x^2 - 13x + 21 = 0$.

1

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$.

В уравнении $2x^2 - 13x + 21 = 0$ коэффициенты равны:

$a = 2$, $b = -13$, $c = 21$.

Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 169 - 168 = 1$.

Так как дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Найдем первый корень:

$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 1}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$.

Найдем второй корень:

$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Таким образом, корнями уравнения являются числа 3 и 3.5.

Ответ: $3; 3.5$.

2 Соотнесите каждое уравнение с числом его корней.

А) $x^2 + 3x - 10 = 0$

Б) $x^2 - 3x + 3 = 0$

В) $4x^2 + 4x + 1 = 0$

1) один корень

2) два корня

3) нет корней

Чтобы соотнести каждое уравнение с числом его корней, необходимо определить знак дискриминанта для каждого из них. Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет ровно один корень.
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

А) Рассмотрим уравнение $x^2 + 3x - 10 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a = 1$, $b = 3$, $c = -10$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
Так как $D = 49 > 0$, уравнение имеет два корня. Это соответствует варианту 2).
Ответ: 2) два корня.

Б) Рассмотрим уравнение $x^2 - 3x + 3 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a = 1$, $b = -3$, $c = 3$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.
Так как $D = -3 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это соответствует варианту 3).
Ответ: 3) нет корней.

В) Рассмотрим уравнение $4x^2 + 4x + 1 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a = 4$, $b = 4$, $c = 1$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень. Это соответствует варианту 1).
(Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $(2x + 1)^2 = 0$, что также указывает на наличие одного корня).
Ответ: 1) один корень.

3 При каких значениях переменной $x$ дробь $\frac{x-2}{x^2+4x-21}$ не имеет смысла?

Дробное выражение не имеет смысла в том случае, когда его знаменатель равен нулю, поскольку деление на ноль является неопределенной операцией в математике.

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых данная дробь $\frac{x-2}{x^2+4x-21}$ не имеет смысла, необходимо приравнять ее знаменатель к нулю и решить полученное уравнение.

Составим и решим квадратное уравнение:

$x^2+4x-21 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=4$, $c=-21$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Вычислим первый корень:

$x_1 = \frac{-4 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Вычислим второй корень:

$x_2 = \frac{-4 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$

Следовательно, при значениях $x=3$ и $x=-7$ знаменатель дроби обращается в ноль, и, соответственно, все выражение не имеет смысла.

Ответ: при $x = 3$ и $x = -7$.

4 Найдите корни уравнения $5x^2 - 8 = (x - 4)(3x - 1) + 8x$.

Для решения данного уравнения сначала упростим его, раскрыв скобки в правой части.

Исходное уравнение:

$5x^2 - 8 = (x - 4)(3x - 1) + 8x$

Раскроем скобки, перемножив двучлены:

$(x - 4)(3x - 1) = x \cdot 3x - x \cdot 1 - 4 \cdot 3x + 4 \cdot 1 = 3x^2 - x - 12x + 4 = 3x^2 - 13x + 4$.

Подставим полученное выражение в уравнение:

$5x^2 - 8 = 3x^2 - 13x + 4 + 8x$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$5x^2 - 8 = 3x^2 - 5x + 4$

Теперь перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - 3x^2 + 5x - 8 - 4 = 0$

Снова приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 5x - 12 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$a = 2, b = 5, c = -12$

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 11}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 11}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

Ответ: $-4; 1,5$.

5 Дано уравнение $x^2 + 2x + c = 0$, где $c$ — некоторое число, $x$ — переменная. Найдите значение $c$, при котором один из корней уравнения равен 6.

По условию задачи дано квадратное уравнение $x^2 + 2x + c = 0$. Известно, что один из корней этого уравнения равен 6.

Корень уравнения – это такое значение переменной $x$, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Следовательно, мы можем подставить значение $x = 6$ в данное уравнение, чтобы найти соответствующее значение $c$.

Подставим $x = 6$ в уравнение $x^2 + 2x + c = 0$:

$(6)^2 + 2 \cdot 6 + c = 0$

Теперь выполним арифметические действия:

$36 + 12 + c = 0$

Сложим числа в левой части уравнения:

$48 + c = 0$

Чтобы найти $c$, перенесем 48 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$c = -48$

Таким образом, при $c = -48$ уравнение принимает вид $x^2 + 2x - 48 = 0$, и одним из его корней является число 6.

Ответ: -48

6 При каком из данных значений $c$ уравнение $x^2 - 8x + c = 0$ не имеет корней?

1) 5

2) 7

3) 16

4) 20

Данное уравнение $x^2 - 8x + c = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней в том случае, если его дискриминант ($D$) меньше нуля.

Формула для вычисления дискриминанта для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -8$. Коэффициент $c$ является параметром.

Вычислим дискриминант в зависимости от $c$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 64 - 4c$.

Уравнение не имеет корней при $D < 0$. Составим и решим это неравенство:
$64 - 4c < 0$
$64 < 4c$
$c > \frac{64}{4}$
$c > 16$

Таким образом, уравнение не будет иметь корней, если значение $c$ строго больше 16. Теперь проверим, какое из предложенных значений удовлетворяет этому условию.

1) Для $c = 5$:
Условие $5 > 16$ не выполняется. При этом значении уравнение имеет корни, так как $D = 64 - 4 \cdot 5 = 44 > 0$.

2) Для $c = 7$:
Условие $7 > 16$ не выполняется. При этом значении уравнение имеет корни, так как $D = 64 - 4 \cdot 7 = 36 > 0$.

3) Для $c = 16$:
Условие $16 > 16$ не выполняется. При этом значении $D = 64 - 4 \cdot 16 = 0$, и уравнение имеет один корень.

4) Для $c = 20$:
Условие $20 > 16$ выполняется. При этом значении $D = 64 - 4 \cdot 20 = -16 < 0$, следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: 20

7 Сколько корней имеет уравнение $(2x^2 - 3x + 2)(2x^2 - x - 2) = 0?$

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, исходное уравнение $(2x^2 - 3x + 2)(2x^2 - x - 2) = 0$ равносильно совокупности двух квадратных уравнений:

1) $2x^2 - 3x + 2 = 0$

2) $2x^2 - x - 2 = 0$

Чтобы найти общее количество корней, нужно определить количество корней каждого из этих уравнений. Для этого вычислим их дискриминанты по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Рассмотрим первое уравнение: $2x^2 - 3x + 2 = 0$.
Его коэффициенты: $a = 2, b = -3, c = 2$.
Найдем дискриминант:
$D_1 = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.
Поскольку дискриминант $D_1 < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим второе уравнение: $2x^2 - x - 2 = 0$.
Его коэффициенты: $a = 2, b = -1, c = -2$.
Найдем дискриминант:
$D_2 = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$.
Поскольку дискриминант $D_2 > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня.

Общее количество корней исходного уравнения равно сумме количества корней первого и второго уравнений. Так как первое уравнение не имеет корней, а второе имеет два корня, то всего у исходного уравнения $0 + 2 = 2$ корня.

Ответ: 2

8 При каких значениях a и c уравнение $ax^2 + c = 0$ не имеет решения?

1) $a > 0, c = 0$
2) $a > 0, c < 0$
3) $a < 0, c < 0$
4) $a < 0, c > 0$

Рассмотрим данное уравнение $ax^2 + c = 0$. Чтобы определить, при каких значениях $a$ и $c$ оно не имеет решений, выразим из него $x^2$.

Перенесем $c$ в правую часть уравнения:

$ax^2 = -c$

Поскольку во всех вариантах ответа предполагается, что $a \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Квадрат любого действительного числа $x$ всегда является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, уравнение не будет иметь действительных решений, если выражение в правой части будет строго отрицательным:

$-\frac{c}{a} < 0$

Умножим это неравенство на -1, что приведет к изменению знака неравенства на противоположный:

$\frac{c}{a} > 0$

Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда числитель $c$ и знаменатель $a$ имеют одинаковые знаки (и при этом $c \ne 0$). То есть, либо $a > 0$ и $c > 0$, либо $a < 0$ и $c < 0$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $a > 0, c = 0$

При этих значениях уравнение принимает вид $ax^2 + 0 = 0$, или $ax^2 = 0$. Так как $a > 0$, то $x^2 = 0$, и уравнение имеет единственный корень $x = 0$.
Ответ: уравнение имеет решение.

2) $a > 0, c < 0$

В этом случае $a$ и $c$ имеют разные знаки, поэтому $\frac{c}{a} < 0$. Условие отсутствия решений ($\frac{c}{a} > 0$) не выполняется. Уравнение имеет решения, так как $x^2 = -\frac{c}{a}$ будет положительным числом.

Ответ: уравнение имеет решения.

3) $a < 0, c < 0$

В этом случае $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки (оба отрицательны), поэтому $\frac{c}{a} > 0$. Условие отсутствия решений выполняется. Правая часть уравнения $x^2 = -\frac{c}{a}$ будет отрицательной, поэтому оно не имеет действительных решений.
Ответ: уравнение не имеет решений.

4) $a < 0, c > 0$

В этом случае $a$ и $c$ имеют разные знаки, поэтому $\frac{c}{a} < 0$. Условие отсутствия решений ($\frac{c}{a} > 0$) не выполняется. Уравнение имеет решения, так как $x^2 = -\frac{c}{a}$ будет положительным числом.
Ответ: уравнение имеет решения.

Таким образом, единственным вариантом из предложенных, при котором уравнение не имеет решений, является вариант 3.

9 Решите уравнение $2x^2 = \frac{1}{2}$.

Для решения данного уравнения $2x^2 = \frac{1}{2}$ необходимо найти значения переменной $x$, которые удовлетворяют этому равенству. Это неполное квадратное уравнение.

1. Изолируем $x^2$

Чтобы выразить $x^2$, разделим обе части уравнения на коэффициент при нем, то есть на 2:

$\frac{2x^2}{2} = \frac{1}{2} \div 2$

$x^2 = \frac{1}{2 \cdot 2}$

$x^2 = \frac{1}{4}$

2. Находим корни уравнения

Теперь, чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей полученного уравнения. Уравнение вида $x^2 = a$, где $a>0$, всегда имеет два корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

Вычисляем значение квадратного корня:

$x = \pm\frac{1}{2}$

Таким образом, мы получили два корня:

$x_1 = \frac{1}{2}$

$x_2 = -\frac{1}{2}$

Корни также можно записать в виде десятичных дробей: $0.5$ и $-0.5$.

Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}$.

10 Решите уравнение $x^2 = 3x$.

Для решения данного квадратного уравнения перенесем все его члены в одну сторону, чтобы справа остался ноль.

$x^2 = 3x$

$x^2 - 3x = 0$

Теперь мы можем вынести общий множитель $x$ за скобки. Это является стандартным методом решения неполных квадратных уравнений, у которых свободный член $c$ равен нулю.

$x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два возможных случая, которые приводят к решению:

1. Первый множитель равен нулю: $x_1 = 0$

2. Второй множитель равен нулю: $x - 3 = 0$

Решим второе простое уравнение:

$x_2 = 3$

Таким образом, мы получили два корня уравнения.

Ответ: $0; 3$

11 Найдите значения $x$, при которых значения выражений $x - x^3$ и $2x - 5x^3$ равны.

Чтобы найти значения x, при которых значения данных выражений равны, необходимо их приравнять друг к другу и решить полученное уравнение.
Составим уравнение:
$x - x^3 = 2x - 5x^3$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, изменив их знак на противоположный:
$x - x^3 - 2x + 5x^3 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(5x^3 - x^3) + (x - 2x) = 0$
$4x^3 - x = 0$
Для решения этого уравнения вынесем общий множитель x за скобки:
$x(4x^2 - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $x = 0$
2) $4x^2 - 1 = 0$
Решим второе уравнение. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители $(2x-1)(2x+1)=0$, или решить следующим образом:
$4x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{4}$
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$
$x = \pm\frac{1}{2}$
Таким образом, получаем еще два корня: $x = 0.5$ и $x = -0.5$.
Следовательно, выражения равны при трех значениях x.
Ответ: $-0.5; 0; 0.5$.

12 Какое из следующих уравнений является биквадратным уравнением?

1) $x^4 + 3x^2 + x = 0$

2) $x^4 + 5x^3 - 6 = 0$

3) $x^4 + x - 5 = 0$

4) $x^4 + x^2 + 1 = 0$

Биквадратным уравнением называется уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$. Характерной особенностью такого уравнения является то, что оно содержит переменную только в четных степенях (в данном случае, четвертой и второй) и свободный член. Проанализируем каждое из предложенных уравнений:

1) $x^4 + 3x^2 + x = 0$

Это уравнение содержит член $x$ (переменную в первой степени). Наличие нечетной степени переменной означает, что это уравнение не является биквадратным.

2) $x^4 + 5x^3 - 6 = 0$

Это уравнение содержит член $5x^3$. Наличие нечетной степени $x^3$ не позволяет классифицировать это уравнение как биквадратное.

3) $x^4 + x - 5 = 0$

Данное уравнение также содержит член с нечетной степенью ($x$), поэтому оно не является биквадратным.

4) $x^4 + x^2 + 1 = 0$

Это уравнение полностью соответствует определению биквадратного уравнения. Оно имеет вид $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=1$ и $c=1$. Все степени переменной $x$ в этом уравнении являются четными. Такое уравнение решается введением новой переменной, например $t = x^2$, что приводит его к квадратному уравнению $t^2 + t + 1 = 0$.

Таким образом, единственное уравнение из предложенных, которое является биквадратным, находится под номером 4.

Ответ: 4

13 Найдите значения $x$, при которых выполняется равенство $x^4 = 8x^2 + 9$.

Данное уравнение $x^4 = 8x^2 + 9$ является биквадратным. Для его решения перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду:
$x^4 - 8x^2 - 9 = 0$

Теперь введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то для новой переменной должно выполняться условие $t \ge 0$.
С учетом замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:
$t^2 - 8t - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Проще всего это сделать с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 8, а их произведение равно -9. Подбором находим корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.
В качестве альтернативы можно использовать формулу для корней через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}$
$t_1 = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$t_2 = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь необходимо проверить найденные значения $t$ на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет этому условию ($9 \ge 0$).
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет этому условию ($-1 < 0$), следовательно, это посторонний корень, и мы его отбрасываем.

Таким образом, у нас есть одно подходящее значение $t=9$. Выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$:
$x^2 = t$
$x^2 = 9$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два решения:
$x_1 = 3$
$x_2 = -3$

Ответ: -3; 3.

14 Укажите корни уравнения $x^2 + (m - n)x - mn = 0$.

1) $x_1 = m, x_2 = n$

2) $x_1 = -m, x_2 = -n$

3) $x_1 = -m, x_2 = n$

4) $x_1 = m, x_2 = -n$

Чтобы найти корни данного квадратного уравнения $x^2 + (m-n)x - mn = 0$, можно воспользоваться несколькими способами.

Способ 1: Использование формулы для корней квадратного уравнения

Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$. В нашем случае коэффициенты равны:
$a = 1$
$b = m - n$
$c = -mn$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (m - n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-mn) = (m^2 - 2mn + n^2) + 4mn = m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(m-n) + \sqrt{(m+n)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-m + n + (m+n)}{2} = \frac{2n}{2} = n$.
$x_2 = \frac{-(m-n) - \sqrt{(m+n)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-m + n - (m+n)}{2} = \frac{-m + n - m - n}{2} = \frac{-2m}{2} = -m$.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = n$ и $x_2 = -m$.
Ответ: $x_1 = -m, x_2 = n$.

Способ 2: Использование теоремы Виета

Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ (где $p = m - n$ и $q = -mn$) по теореме Виета сумма корней равна $-p$, а их произведение равно $q$.
$x_1 + x_2 = -(m - n) = n - m$
$x_1 \cdot x_2 = -mn$

Теперь подберем такие два числа, которые удовлетворяют этим условиям. Из второго уравнения ($x_1 \cdot x_2 = -mn$) видно, что корнями могут быть числа, связанные с $m$ и $n$. Проверим пару чисел $-m$ и $n$:
Их произведение: $(-m) \cdot n = -mn$. Это соответствует второму уравнению.
Их сумма: $(-m) + n = n - m$. Это соответствует первому уравнению.
Следовательно, корни уравнения — это $-m$ и $n$.
Ответ: $x_1 = -m, x_2 = n$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнивая полученные корни с вариантами ответов, видим, что правильный вариант находится под номером 3.