Номер 13, страница 166 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 13, страница 166.

Условие.

13 Найдите значения $x$, при которых выполняется равенство $x^4 = 8x^2 + 9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Данное уравнение $x^4 = 8x^2 + 9$ является биквадратным. Для его решения перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду:
$x^4 - 8x^2 - 9 = 0$

Теперь введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то для новой переменной должно выполняться условие $t \ge 0$.
С учетом замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:
$t^2 - 8t - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Проще всего это сделать с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 8, а их произведение равно -9. Подбором находим корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.
В качестве альтернативы можно использовать формулу для корней через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}$
$t_1 = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$t_2 = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь необходимо проверить найденные значения $t$ на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет этому условию ($9 \ge 0$).
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет этому условию ($-1 < 0$), следовательно, это посторонний корень, и мы его отбрасываем.

Таким образом, у нас есть одно подходящее значение $t=9$. Выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$:
$x^2 = t$
$x^2 = 9$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два решения:
$x_1 = 3$
$x_2 = -3$

Ответ: -3; 3.