Номер 15, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 15, страница 167.

Условие.

15 Разложите, если возможно, на множители квадратный трёхчлен

$2x^2 + 15x + 25.$

1) это невозможно

2) $(x + 5)(2x + 5)$

3) $(x + 5)(x + 2,5)$

4) $2(x + 5)(x + 0,5)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если корни $x_1$ и $x_2$ существуют, то разложение имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$.

В нашем случае дан трёхчлен $2x^2 + 15x + 25$. Приравняем его к нулю, чтобы найти корни: $2x^2 + 15x + 25 = 0$.
Коэффициенты этого уравнения: $a = 2$, $b = 15$, $c = 25$.

Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 225 - 200 = 25$.

Так как $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что трёхчлен можно разложить на множители. Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-15 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 - 5}{4} = \frac{-20}{4} = -5$
$x_2 = \frac{-15 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 + 5}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$

Теперь подставим коэффициент $a=2$ и найденные корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -2,5$ в формулу разложения на множители:
$2x^2 + 15x + 25 = 2(x - (-5))(x - (-2,5)) = 2(x + 5)(x + 2,5)$.

Чтобы привести полученное выражение к одному из предложенных в задании вариантов, внесём множитель $2$ во вторую скобку:
$2(x + 5)(x + 2,5) = (x + 5) \cdot [2 \cdot (x + 2,5)] = (x + 5)(2x + 5)$.

Полученное выражение $(x + 5)(2x + 5)$ в точности совпадает с вариантом ответа под номером 2. Для проверки можно раскрыть скобки: $(x + 5)(2x + 5) = 2x^2 + 5x + 10x + 25 = 2x^2 + 15x + 25$.

Ответ: 2) $(x + 5)(2x + 5)$