Номер 3, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 4.1. Линейное уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 3, страница 171.

Условие.

Обозначьте в каждом случае неизвестные величины буквами и составьте по условию задачи уравнение с двумя переменными:

а) Площадь прямоугольника равна 36 см². Чему равны длины его сторон? $xy = 36$

б) Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Чему равны длины боковой стороны и основания? $2x + y = 16$

в) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см. Чему равны длины его катетов? $x^2 + y^2 = 5^2$

Есть ли среди составленных уравнений линейное? Приведите свой пример линейного уравнения с двумя переменными и уравнения, не являющегося линейным.

Решение 3.

Решение 4.

а) Обозначим длины сторон прямоугольника переменными $x$ и $y$ (в см). Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длин его смежных сторон. По условию задачи, площадь равна 36 см². Следовательно, уравнение, связывающее эти величины, будет иметь вид:

$x \cdot y = 36$

При этом, так как $x$ и $y$ представляют собой длины, они должны быть положительными числами ($x > 0$, $y > 0$).

Ответ: $x \cdot y = 36$, где $x$ и $y$ — длины сторон прямоугольника в см.

б) Обозначим длину боковой стороны равнобедренного треугольника переменной $a$ (в см), а длину его основания — переменной $b$ (в см). Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Поскольку у равнобедренного треугольника две боковые стороны равны, его периметр равен $a + a + b$. По условию задачи, периметр равен 16 см. Составим уравнение:

$2a + b = 16$

Длины сторон должны быть положительными ($a > 0$, $b > 0$) и удовлетворять неравенству треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей ($2a > b$).

Ответ: $2a + b = 16$, где $a$ — длина боковой стороны, а $b$ — длина основания в см.

в) Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника переменными $a$ и $b$ (в см). По условию, длина гипотенузы равна 5 см. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Таким образом, получаем следующее уравнение:

$a^2 + b^2 = 5^2$

$a^2 + b^2 = 25$

Длины катетов, как и любые длины, должны быть положительными величинами ($a > 0$, $b > 0$).

Ответ: $a^2 + b^2 = 25$, где $a$ и $b$ — длины катетов треугольника в см.

---

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a$ и $b$ не равны нулю одновременно.

Среди составленных уравнений линейным является только одно:

• Уравнение из пункта а) $x \cdot y = 36$ не является линейным, так как оно содержит произведение переменных.
• Уравнение из пункта б) $2a + b = 16$ является линейным. Его можно записать в виде $2a + 1b = 16$, что полностью соответствует общему виду линейного уравнения.
• Уравнение из пункта в) $a^2 + b^2 = 25$ не является линейным, так как переменные в нем возведены во вторую степень.

Пример линейного уравнения с двумя переменными: $3x - 7y = 15$.

Пример уравнения, не являющегося линейным: $y = 5x^2 - 3$.

Ответ: Да, среди составленных уравнений есть линейное — это уравнение из пункта б) $2a + b = 16$. Пример линейного уравнения: $3x - 7y = 15$. Пример нелинейного уравнения: $y = 5x^2 - 3$.