Номер 14, страница 166 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 14, страница 166.

Условие.

14 Укажите корни уравнения $x^2 + (m - n)x - mn = 0$.

1) $x_1 = m, x_2 = n$

2) $x_1 = -m, x_2 = -n$

3) $x_1 = -m, x_2 = n$

4) $x_1 = m, x_2 = -n$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы найти корни данного квадратного уравнения $x^2 + (m-n)x - mn = 0$, можно воспользоваться несколькими способами.

Способ 1: Использование формулы для корней квадратного уравнения

Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$. В нашем случае коэффициенты равны:
$a = 1$
$b = m - n$
$c = -mn$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (m - n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-mn) = (m^2 - 2mn + n^2) + 4mn = m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(m-n) + \sqrt{(m+n)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-m + n + (m+n)}{2} = \frac{2n}{2} = n$.
$x_2 = \frac{-(m-n) - \sqrt{(m+n)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-m + n - (m+n)}{2} = \frac{-m + n - m - n}{2} = \frac{-2m}{2} = -m$.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = n$ и $x_2 = -m$.
Ответ: $x_1 = -m, x_2 = n$.

Способ 2: Использование теоремы Виета

Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ (где $p = m - n$ и $q = -mn$) по теореме Виета сумма корней равна $-p$, а их произведение равно $q$.
$x_1 + x_2 = -(m - n) = n - m$
$x_1 \cdot x_2 = -mn$

Теперь подберем такие два числа, которые удовлетворяют этим условиям. Из второго уравнения ($x_1 \cdot x_2 = -mn$) видно, что корнями могут быть числа, связанные с $m$ и $n$. Проверим пару чисел $-m$ и $n$:
Их произведение: $(-m) \cdot n = -mn$. Это соответствует второму уравнению.
Их сумма: $(-m) + n = n - m$. Это соответствует первому уравнению.
Следовательно, корни уравнения — это $-m$ и $n$.
Ответ: $x_1 = -m, x_2 = n$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнивая полученные корни с вариантами ответов, видим, что правильный вариант находится под номером 3.