Номер 8, страница 166 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 8, страница 166.

Условие.

8 При каких значениях a и c уравнение $ax^2 + c = 0$ не имеет решения?

1) $a > 0, c = 0$
2) $a > 0, c < 0$
3) $a < 0, c < 0$
4) $a < 0, c > 0$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Рассмотрим данное уравнение $ax^2 + c = 0$. Чтобы определить, при каких значениях $a$ и $c$ оно не имеет решений, выразим из него $x^2$.

Перенесем $c$ в правую часть уравнения:

$ax^2 = -c$

Поскольку во всех вариантах ответа предполагается, что $a \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Квадрат любого действительного числа $x$ всегда является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, уравнение не будет иметь действительных решений, если выражение в правой части будет строго отрицательным:

$-\frac{c}{a} < 0$

Умножим это неравенство на -1, что приведет к изменению знака неравенства на противоположный:

$\frac{c}{a} > 0$

Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда числитель $c$ и знаменатель $a$ имеют одинаковые знаки (и при этом $c \ne 0$). То есть, либо $a > 0$ и $c > 0$, либо $a < 0$ и $c < 0$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $a > 0, c = 0$

При этих значениях уравнение принимает вид $ax^2 + 0 = 0$, или $ax^2 = 0$. Так как $a > 0$, то $x^2 = 0$, и уравнение имеет единственный корень $x = 0$.
Ответ: уравнение имеет решение.

2) $a > 0, c < 0$

В этом случае $a$ и $c$ имеют разные знаки, поэтому $\frac{c}{a} < 0$. Условие отсутствия решений ($\frac{c}{a} > 0$) не выполняется. Уравнение имеет решения, так как $x^2 = -\frac{c}{a}$ будет положительным числом.

Ответ: уравнение имеет решения.

3) $a < 0, c < 0$

В этом случае $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки (оба отрицательны), поэтому $\frac{c}{a} > 0$. Условие отсутствия решений выполняется. Правая часть уравнения $x^2 = -\frac{c}{a}$ будет отрицательной, поэтому оно не имеет действительных решений.
Ответ: уравнение не имеет решений.

4) $a < 0, c > 0$

В этом случае $a$ и $c$ имеют разные знаки, поэтому $\frac{c}{a} < 0$. Условие отсутствия решений ($\frac{c}{a} > 0$) не выполняется. Уравнение имеет решения, так как $x^2 = -\frac{c}{a}$ будет положительным числом.
Ответ: уравнение имеет решения.

Таким образом, единственным вариантом из предложенных, при котором уравнение не имеет решений, является вариант 3.