Номер 4, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 4.1. Линейное уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 4, страница 171.

Условие.

В фрагменте 2 уравнение $3x + 5y = 10$ решено относительно переменной $y$. Прокомментируйте каждый шаг выполненных преобразований. Какие свойства уравнений использовались? Решите это же уравнение относительно $x$.

Решение 3.

Решение 4.

Комментарий к решению уравнения $3x + 5y = 10$ относительно переменной $y$

Исходное уравнение: $3x + 5y = 10$.

Наша цель — выразить переменную $y$ через переменную $x$.

Шаг 1: Изолируем слагаемое, содержащее $y$ ($5y$), в левой части уравнения. Для этого мы переносим слагаемое $3x$ из левой части в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный. Это преобразование равносильно вычитанию $3x$ из обеих частей уравнения.

$3x + 5y - 3x = 10 - 3x$

$5y = 10 - 3x$

Шаг 2: Теперь, когда слагаемое с $y$ изолировано, нам нужно найти саму переменную $y$. Для этого мы делим обе части уравнения на коэффициент, стоящий перед $y$, то есть на 5. Это преобразование возможно, так как $5 \neq 0$.

$\frac{5y}{5} = \frac{10 - 3x}{5}$

$y = \frac{10 - 3x}{5}$

Этот результат можно представить в более удобном для анализа виде, разделив почленно числитель на знаменатель:

$y = \frac{10}{5} - \frac{3x}{5}$

$y = 2 - \frac{3}{5}x$

Ответ: $y = 2 - \frac{3}{5}x$

Какие свойства уравнений использовались?

При выполнении преобразований были использованы следующие два основных свойства равносильности уравнений:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число или выражение с переменными, то получится уравнение, равносильное данному. На практике это свойство реализуется как перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением их знака на противоположный (использовано на Шаге 1).

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному (использовано на Шаге 2).

Ответ: Использовались свойства равносильности уравнений: перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака и деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Решите это же уравнение относительно $x$

Исходное уравнение: $3x + 5y = 10$.

Теперь наша цель — выразить переменную $x$ через переменную $y$.

Шаг 1: Изолируем слагаемое, содержащее $x$ ($3x$), в левой части. Для этого перенесем слагаемое $5y$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный.

$3x = 10 - 5y$

Шаг 2: Выразим переменную $x$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3 (так как $3 \neq 0$).

$\frac{3x}{3} = \frac{10 - 5y}{3}$

$x = \frac{10 - 5y}{3}$

Также можно записать результат в виде:

$x = \frac{10}{3} - \frac{5}{3}y$

Ответ: $x = \frac{10 - 5y}{3}$