Страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Обозначьте в каждом случае неизвестные величины буквами и составьте по условию задачи уравнение с двумя переменными:

а) Площадь прямоугольника равна 36 см². Чему равны длины его сторон? $xy = 36$

б) Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Чему равны длины боковой стороны и основания? $2x + y = 16$

в) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см. Чему равны длины его катетов? $x^2 + y^2 = 5^2$

Есть ли среди составленных уравнений линейное? Приведите свой пример линейного уравнения с двумя переменными и уравнения, не являющегося линейным.

а) Обозначим длины сторон прямоугольника переменными $x$ и $y$ (в см). Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длин его смежных сторон. По условию задачи, площадь равна 36 см². Следовательно, уравнение, связывающее эти величины, будет иметь вид:

$x \cdot y = 36$

При этом, так как $x$ и $y$ представляют собой длины, они должны быть положительными числами ($x > 0$, $y > 0$).

Ответ: $x \cdot y = 36$, где $x$ и $y$ — длины сторон прямоугольника в см.

б) Обозначим длину боковой стороны равнобедренного треугольника переменной $a$ (в см), а длину его основания — переменной $b$ (в см). Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Поскольку у равнобедренного треугольника две боковые стороны равны, его периметр равен $a + a + b$. По условию задачи, периметр равен 16 см. Составим уравнение:

$2a + b = 16$

Длины сторон должны быть положительными ($a > 0$, $b > 0$) и удовлетворять неравенству треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей ($2a > b$).

Ответ: $2a + b = 16$, где $a$ — длина боковой стороны, а $b$ — длина основания в см.

в) Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника переменными $a$ и $b$ (в см). По условию, длина гипотенузы равна 5 см. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Таким образом, получаем следующее уравнение:

$a^2 + b^2 = 5^2$

$a^2 + b^2 = 25$

Длины катетов, как и любые длины, должны быть положительными величинами ($a > 0$, $b > 0$).

Ответ: $a^2 + b^2 = 25$, где $a$ и $b$ — длины катетов треугольника в см.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a$ и $b$ не равны нулю одновременно.

Среди составленных уравнений линейным является только одно:

• Уравнение из пункта а) $x \cdot y = 36$ не является линейным, так как оно содержит произведение переменных.
• Уравнение из пункта б) $2a + b = 16$ является линейным. Его можно записать в виде $2a + 1b = 16$, что полностью соответствует общему виду линейного уравнения.
• Уравнение из пункта в) $a^2 + b^2 = 25$ не является линейным, так как переменные в нем возведены во вторую степень.

Пример линейного уравнения с двумя переменными: $3x - 7y = 15$.

Пример уравнения, не являющегося линейным: $y = 5x^2 - 3$.

Ответ: Да, среди составленных уравнений есть линейное — это уравнение из пункта б) $2a + b = 16$. Пример линейного уравнения: $3x - 7y = 15$. Пример нелинейного уравнения: $y = 5x^2 - 3$.

В фрагменте 2 уравнение $3x + 5y = 10$ решено относительно переменной $y$. Прокомментируйте каждый шаг выполненных преобразований. Какие свойства уравнений использовались? Решите это же уравнение относительно $x$.

Комментарий к решению уравнения $3x + 5y = 10$ относительно переменной $y$

Исходное уравнение: $3x + 5y = 10$.

Наша цель — выразить переменную $y$ через переменную $x$.

Шаг 1: Изолируем слагаемое, содержащее $y$ ($5y$), в левой части уравнения. Для этого мы переносим слагаемое $3x$ из левой части в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный. Это преобразование равносильно вычитанию $3x$ из обеих частей уравнения.

$3x + 5y - 3x = 10 - 3x$

$5y = 10 - 3x$

Шаг 2: Теперь, когда слагаемое с $y$ изолировано, нам нужно найти саму переменную $y$. Для этого мы делим обе части уравнения на коэффициент, стоящий перед $y$, то есть на 5. Это преобразование возможно, так как $5 \neq 0$.

$\frac{5y}{5} = \frac{10 - 3x}{5}$

$y = \frac{10 - 3x}{5}$

Этот результат можно представить в более удобном для анализа виде, разделив почленно числитель на знаменатель:

$y = \frac{10}{5} - \frac{3x}{5}$

$y = 2 - \frac{3}{5}x$

Ответ: $y = 2 - \frac{3}{5}x$

Какие свойства уравнений использовались?

При выполнении преобразований были использованы следующие два основных свойства равносильности уравнений:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число или выражение с переменными, то получится уравнение, равносильное данному. На практике это свойство реализуется как перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением их знака на противоположный (использовано на Шаге 1).

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному (использовано на Шаге 2).

Ответ: Использовались свойства равносильности уравнений: перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака и деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Решите это же уравнение относительно $x$

Исходное уравнение: $3x + 5y = 10$.

Теперь наша цель — выразить переменную $x$ через переменную $y$.

Шаг 1: Изолируем слагаемое, содержащее $x$ ($3x$), в левой части. Для этого перенесем слагаемое $5y$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный.

$3x = 10 - 5y$

Шаг 2: Выразим переменную $x$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3 (так как $3 \neq 0$).

$\frac{3x}{3} = \frac{10 - 5y}{3}$

$x = \frac{10 - 5y}{3}$

Также можно записать результат в виде:

$x = \frac{10}{3} - \frac{5}{3}y$

Ответ: $x = \frac{10 - 5y}{3}$

Объясните, как составлено уравнение в задаче о фазанах и кроликах (фрагмент 3). Составьте уравнение по условию этой же задачи, обозначив буквой $x$ число кроликов, а буквой $y$ число фазанов. Доведите решение до конца, выполнив перебор.

Объясните, как составлено уравнение в задаче о фазанах и кроликах (фрагмент 3).

Поскольку текст "фрагмента 3" не предоставлен, мы будем исходить из условий классической задачи о фазанах и кроликах. Предположим, что условия были следующими: в клетке находятся фазаны и кролики, всего у них 35 голов и 94 ноги.

Вероятно, в "фрагменте 3" уравнение было составлено относительно одной переменной. Допустим, переменной f было обозначено число фазанов. Тогда уравнение для подсчета общего числа ног было составлено следующим образом:

• У каждого фазана 2 ноги, а у каждого кролика 4 ноги.

• Если число фазанов равно f, то общее число ног у всех фазанов равно $2 \cdot f$.

• Поскольку всего 35 голов (животных), то число кроликов равно $35 - f$.

• Общее число ног у всех кроликов равно $4 \cdot (35 - f)$.

• Сумма ног фазанов и кроликов равна общему числу ног, то есть 94.

Таким образом, мы получаем уравнение: $2f + 4(35 - f) = 94$.

Это уравнение объединяет все условия задачи: $2f$ — это ноги фазанов, $4(35 - f)$ — это ноги кроликов, а 94 — это их общее количество.

Ответ: Уравнение составляется на основе подсчета общего количества ног. Если f — число фазанов, а общее число животных 35, то число кроликов — $35 - f$. Суммируя ноги всех фазанов ($2f$) и всех кроликов ($4(35-f)$), мы приравниваем их к общему числу ног (94), получая уравнение $2f + 4(35 - f) = 94$.

Составьте уравнение по условию этой же задачи, обозначив буквой x число кроликов, а буквой y число фазанов. Доведите решение до конца, выполнив перебор.

Используем те же условия: всего 35 голов и 94 ноги.

Обозначим:
x — число кроликов;
y — число фазанов.

Можно составить два основных уравнения:

1. Уравнение по общему числу голов: $x + y = 35$.

2. Уравнение по общему числу ног: $4x + 2y = 94$ (так как у кролика 4 ноги, а у фазана 2).

Задача требует составить одно уравнение. Составим его по числу ног: $4x + 2y = 94$. Для его решения воспользуемся информацией из первого уравнения ($x + y = 35$) и применим метод перебора. Числа x и y должны быть целыми и неотрицательными.

Из первого уравнения следует, что $y = 35 - x$. Будем подбирать значение x (число кроликов) и вычислять соответствующее значение y, а затем проверять, выполняется ли равенство для числа ног. Для удобства можно упростить уравнение для ног, разделив его на 2: $2x + y = 47$.

Выполним перебор:

• Пусть $x = 10$ (кроликов). Тогда $y = 35 - 10 = 25$ (фазанов). Проверка по ногам: $4 \cdot 10 + 2 \cdot 25 = 40 + 50 = 90$. Это не равно 94. Нужно больше ног, значит, нужно больше кроликов (у них по 4 ноги).

• Пусть $x = 11$ (кроликов). Тогда $y = 35 - 11 = 24$ (фазана). Проверка по ногам: $4 \cdot 11 + 2 \cdot 24 = 44 + 48 = 92$. Близко, но все еще не 94.

• Пусть $x = 12$ (кроликов). Тогда $y = 35 - 12 = 23$ (фазана). Проверка по ногам: $4 \cdot 12 + 2 \cdot 23 = 48 + 46 = 94$. Это верное равенство. Решение найдено.

• Проверим следующее значение для уверенности. Пусть $x = 13$ (кроликов). Тогда $y = 35 - 13 = 22$ (фазана). Проверка по ногам: $4 \cdot 13 + 2 \cdot 22 = 52 + 44 = 96$. Это больше 94. Дальнейшее увеличение числа кроликов будет только увеличивать общее число ног.

Таким образом, метод перебора позволил найти единственно верное решение.

Ответ: Уравнение по числу ног: $4x + 2y = 94$. В результате перебора, с учетом условия $x + y = 35$, найдено решение: в клетке было 12 кроликов и 23 фазана.

571 Проверьте, является ли пара чисел $(-2; 2)$ решением уравнения:

а) $x - y = -4$;

б) $x + 2 = 2y$;

в) $x^2 - y = 2.$

Чтобы проверить, является ли пара чисел решением уравнения, нужно подставить значения переменных из этой пары в уравнение. Если в результате получится верное числовое равенство, то пара является решением; в противном случае — не является. В данном случае, нам дана пара чисел $(-2; 2)$, что соответствует $x = -2$ и $y = 2$.

а) Проверим для уравнения $x - y = -4$.

Подставляем значения $x = -2$ и $y = 2$ в левую часть уравнения:

$(-2) - 2 = -4$

Полученное значение $-4$ совпадает со значением в правой части уравнения ($-4$).

$-4 = -4$

Равенство верное, следовательно, пара чисел $(-2; 2)$ является решением этого уравнения.

Ответ: да.

б) Проверим для уравнения $x + 2 = 2y$.

Подставляем $x = -2$ в левую часть и $y = 2$ в правую часть уравнения.

Левая часть: $x + 2 = -2 + 2 = 0$.

Правая часть: $2y = 2 \cdot 2 = 4$.

Сравниваем результаты: $0 \neq 4$.

Равенство неверное, следовательно, пара чисел $(-2; 2)$ не является решением этого уравнения.

Ответ: нет.

в) Проверим для уравнения $x^2 - y = 2$.

Подставляем значения $x = -2$ и $y = 2$ в левую часть уравнения:

$(-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

Полученное значение $2$ совпадает со значением в правой части уравнения ($2$).

$2 = 2$

Равенство верное, следовательно, пара чисел $(-2; 2)$ является решением этого уравнения.

Ответ: да.

572 Какая из указанных пар чисел не является решением уравнения $xy + x = 2$?

1) (-2; 2)

2) (0,5; 3)

3) (-3; -1)

4) (-0,5; -5)

Для того чтобы определить, какая из указанных пар чисел не является решением уравнения $xy + x = 2$, необходимо последовательно подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в данное уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

1) $(-2; 2)$

Подставим значения $x = -2$ и $y = 2$ в левую часть уравнения:

$(-2) \cdot 2 + (-2) = -4 - 2 = -6$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $-6 \neq 2$.

Следовательно, пара чисел $(-2; 2)$ не является решением уравнения.

Ответ: не является решением.

2) $(0,5; 3)$

Подставим значения $x = 0,5$ и $y = 3$ в левую часть уравнения:

$0,5 \cdot 3 + 0,5 = 1,5 + 0,5 = 2$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $2 = 2$.

Следовательно, пара чисел $(0,5; 3)$ является решением уравнения.

Ответ: является решением.

3) $(-3; -1)$

Подставим значения $x = -3$ и $y = -1$ в левую часть уравнения:

$(-3) \cdot (-1) + (-3) = 3 - 3 = 0$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $0 \neq 2$.

Следовательно, пара чисел $(-3; -1)$ также не является решением уравнения.

Ответ: не является решением.

4) $(-0,5; -5)$

Подставим значения $x = -0,5$ и $y = -5$ в левую часть уравнения:

$(-0,5) \cdot (-5) + (-0,5) = 2,5 - 0,5 = 2$

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $2 = 2$.

Следовательно, пара чисел $(-0,5; -5)$ является решением уравнения.

Ответ: является решением.

В результате проверки было установлено, что две пары чисел не являются решением уравнения: $(-2; 2)$ и $(-3; -1)$. Вопрос «Какая из указанных пар…» сформулирован в единственном числе, что обычно предполагает единственный правильный ответ. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Основываясь на математических вычислениях, ответом на вопрос являются оба варианта.

Ответ: 1) и 3).

573 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Какие из утверждений являются верными? Неверные утверждения переформулируйте так, чтобы они стали верными:

1) Пара чисел $(-1; 3)$ является решением уравнения $x + 2y = 5$.

2) Пара чисел $(-2; -1)$ не является решением уравнения $x^2 + 4y = 8$.

3) Пара чисел $(-4; 3)$ не является решением уравнения $\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = 0$.

4) Пара чисел $(-3; 0)$ является решением уравнения $x^2 + y^2 = 9$.

5) Пара чисел $(1; 2)$ является решением уравнения $x^3 + y^3 = 7$.

1) Чтобы проверить утверждение, подставим пару чисел (–1; 3) в уравнение $x + 2y = 5$, где $x = -1$ и $y = 3$.
$(-1) + 2 \cdot 3 = -1 + 6 = 5$.
Поскольку левая часть уравнения равна правой ($5 = 5$), пара чисел (–1; 3) является решением.
Ответ: утверждение верное.

2) Проверим, является ли пара чисел (–2; –1) решением уравнения $x^2 + 4y = 8$. Подставим $x = -2$ и $y = -1$.
$(-2)^2 + 4 \cdot (-1) = 4 - 4 = 0$.
Поскольку $0 \neq 8$, пара чисел (–2; –1) не является решением уравнения. Утверждение говорит то же самое.
Ответ: утверждение верное.

3) Проверим, является ли пара чисел (–4; 3) решением уравнения $\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = 0$. Подставим $x = -4$ и $y = 3$.
$\frac{-4}{2} + \frac{2 \cdot 3}{3} = -2 + \frac{6}{3} = -2 + 2 = 0$.
Поскольку $0 = 0$, пара чисел (–4; 3) является решением уравнения. Исходное утверждение гласит, что она не является решением, что неверно.
Ответ: утверждение неверно. Верное утверждение: Пара чисел (–4; 3) является решением уравнения $\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = 0$.

4) Проверим утверждение для пары чисел (–3; 0) и уравнения $x^2 + y^2 = 9$. Подставим $x = -3$ и $y = 0$.
$(-3)^2 + 0^2 = 9 + 0 = 9$.
Поскольку $9 = 9$, пара чисел (–3; 0) является решением уравнения.
Ответ: утверждение верное.

5) Проверим утверждение для пары чисел (1; 2) и уравнения $x^3 + y^3 = 7$. Подставим $x = 1$ и $y = 2$.
$1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$.
Поскольку $9 \neq 7$, пара чисел (1; 2) не является решением уравнения. Исходное утверждение гласит, что она является решением, что неверно.
Ответ: утверждение неверно. Верное утверждение: Пара чисел (1; 2) не является решением уравнения $x^3 + y^3 = 7$.

574 Какие из данных уравнений являются линейными?

1) $2x + 3y = 6$

2) $4x^2 - 3y = 0$

3) $5x - 2y = 0$

4) $\frac{2}{x} + \frac{7}{y} = 1$

5) $3xy + 2y = 2$

6) $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Основные признаки линейного уравнения:

• Переменные ($x$, $y$) входят в уравнение только в первой степени (т.е. нет $x^2$, $y^3$ и т.д.).
• В уравнении нет произведений переменных (т.е. нет членов вида $xy$).
• В уравнении нет деления на переменные (т.е. нет членов вида $\frac{1}{x}$ или $\frac{2}{y}$).

Проанализируем каждое из предложенных уравнений на соответствие этим признакам.

1) $2x + 3y = 6$

Данное уравнение полностью соответствует стандартному виду линейного уравнения $ax + by = c$. Здесь коэффициенты $a=2$, $b=3$, $c=6$. Переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени, их произведения и деления на них отсутствуют. Следовательно, это уравнение является линейным.
Ответ: является линейным.

2) $4x^2 - 3y = 0$

В данном уравнении переменная $x$ возведена во вторую степень ($x^2$). Это нарушает определение линейного уравнения, так как степень переменной отлична от 1. Следовательно, это уравнение не является линейным.
Ответ: не является линейным.

3) $5x - 2y = 0$

Это уравнение можно представить в стандартном виде $ax + by = c$, где $a=5$, $b=-2$ и $c=0$. Переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени. Следовательно, это уравнение является линейным.
Ответ: является линейным.

4) $\frac{2}{x} + \frac{7}{y} = 1$

В этом уравнении присутствует деление на переменные $x$ и $y$. Это равносильно тому, что переменные имеют степень -1 ($2x^{-1} + 7y^{-1} = 1$), что недопустимо для линейных уравнений. Следовательно, это уравнение не является линейным.
Ответ: не является линейным.

5) $3xy + 2y = 2$

Данное уравнение содержит член $3xy$, который является произведением двух переменных. Это не соответствует определению линейного уравнения. Следовательно, это уравнение не является линейным.
Ответ: не является линейным.

6) $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$

Это уравнение можно переписать в виде $\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 1$. Это стандартный вид линейного уравнения $ax + by = c$, где коэффициенты $a=\frac{1}{2}$, $b=\frac{1}{3}$ и $c=1$. Переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени, и деление происходит на константы, а не на переменные. Следовательно, это уравнение является линейным.
Ответ: является линейным.

575 Выразите из уравнения $5x - 2y = 15$ переменную $y$ через $x$ и найдите какие-нибудь три решения этого уравнения. Затем выразите $x$ через $y$ и найдите ещё два его решения.

Выразите из уравнения $5x - 2y = 15$ переменную $y$ через $x$ и найдите какие-нибудь три решения этого уравнения.

Чтобы выразить переменную $y$ через $x$, преобразуем данное уравнение $5x - 2y = 15$.
Сначала перенесем слагаемое $5x$ в правую часть уравнения:
$-2y = 15 - 5x$
Теперь умножим обе части уравнения на $-1$:
$2y = -15 + 5x$
Или, поменяв слагаемые местами в правой части:
$2y = 5x - 15$
Наконец, разделим обе части уравнения на 2:
$y = \frac{5x - 15}{2}$

Теперь найдем три пары чисел $(x; y)$, которые являются решениями уравнения. Для этого будем подставлять различные значения $x$ в полученную формулу. Чтобы получать целые значения $y$, удобно выбирать нечетные значения $x$.
1. Если $x = 1$, то $y = \frac{5 \cdot 1 - 15}{2} = \frac{5 - 15}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Получаем решение $(1; -5)$.
2. Если $x = 3$, то $y = \frac{5 \cdot 3 - 15}{2} = \frac{15 - 15}{2} = \frac{0}{2} = 0$.
Получаем решение $(3; 0)$.
3. Если $x = 5$, то $y = \frac{5 \cdot 5 - 15}{2} = \frac{25 - 15}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Получаем решение $(5; 5)$.

Ответ: $y = \frac{5x - 15}{2}$; три решения, например, $(1; -5)$, $(3; 0)$, $(5; 5)$.

Затем выразите $x$ через $y$ и найдите ещё два его решения.

Теперь выразим переменную $x$ через $y$ из того же уравнения $5x - 2y = 15$.
Перенесем слагаемое $-2y$ в правую часть уравнения:
$5x = 15 + 2y$
Разделим обе части уравнения на 5:
$x = \frac{15 + 2y}{5}$

Найдем еще два решения. Для этого будем подставлять различные значения $y$. Чтобы получать целые значения $x$, удобно выбирать значения $y$, кратные 5.
1. Если $y = 10$, то $x = \frac{15 + 2 \cdot 10}{5} = \frac{15 + 20}{5} = \frac{35}{5} = 7$.
Получаем решение $(7; 10)$.
2. Если $y = -10$, то $x = \frac{15 + 2 \cdot (-10)}{5} = \frac{15 - 20}{5} = \frac{-5}{5} = -1$.
Получаем решение $(-1; -10)$.

Ответ: $x = \frac{15 + 2y}{5}$; два других решения, например, $(7; 10)$ и $(-1; -10)$.