Страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

a) Убедитесь, что точка (3; 10) принадлежит графику уравнения $10x - y = 20$. Дайте алгебраическое истолкование этого факта, используя термин «решение уравнения».

б) Убедитесь, что пара чисел (-5; 3) является решением уравнения $xy = -15$. Дайте геометрическое истолкование этого факта, используя термин «график уравнения».

а) Чтобы убедиться, что точка $(3; 10)$ принадлежит графику уравнения $10x - y = 20$, нужно подставить ее координаты $x = 3$ и $y = 10$ в уравнение и проверить, получится ли верное равенство.

Подставим значения в левую часть уравнения:

$10 \cdot 3 - 10 = 30 - 10 = 20$

Левая часть равна правой части ($20 = 20$), следовательно, равенство верное. Это доказывает, что точка $(3; 10)$ принадлежит графику уравнения.

Алгебраическое истолкование: По определению, пара значений переменных, обращающая уравнение в верное числовое равенство, называется решением уравнения. Так как при подстановке $x = 3$ и $y = 10$ в уравнение $10x - y = 20$ мы получили верное равенство $20 = 20$, это означает, что пара чисел $(3; 10)$ является решением уравнения.

Ответ: Подстановка координат точки $(3; 10)$ в уравнение $10x - y = 20$ дает верное равенство $20=20$, значит, точка принадлежит графику. Алгебраически это означает, что пара чисел $(3; 10)$ является решением этого уравнения.

б) Чтобы убедиться, что пара чисел $(-5; 3)$ является решением уравнения $xy = -15$, нужно подставить эти числа вместо переменных $x$ и $y$.

Подставим значения $x = -5$ и $y = 3$ в левую часть уравнения:

$(-5) \cdot 3 = -15$

Левая часть равна правой части ($-15 = -15$), следовательно, равенство верное. Это доказывает, что пара чисел $(-5; 3)$ является решением уравнения.

Геометрическое истолкование: График уравнения с двумя переменными — это множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. Поскольку пара чисел $(-5; 3)$ является решением уравнения $xy = -15$, это означает, что точка с координатами $(-5; 3)$ принадлежит графику уравнения.

Ответ: Подстановка чисел $x = -5$ и $y = 3$ в уравнение $xy = -15$ дает верное равенство $-15=-15$, значит, эта пара чисел является решением. Геометрически это означает, что точка с координатами $(-5; 3)$ лежит на графике этого уравнения.

Графиком какого из уравнений: $ \frac{x}{2} + y = 5 $ или $ \frac{2}{x} + y = 5 $ – является прямая?

Назовите коэффициенты $a, b$ и $c$ в уравнении прямой.

Графиком какого из уравнений: $\frac{x}{2}+y=5$ или $\frac{2}{x}+y=5$ – является прямая?

Уравнение прямой, или линейное уравнение, — это уравнение, которое можно привести к виду $ax+by+c=0$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$, $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Ключевая особенность линейного уравнения в том, что переменные $x$ и $y$ входят в него в первой степени.

Рассмотрим первое уравнение: $\frac{x}{2}+y=5$. Его можно переписать в виде $\frac{1}{2}x+y=5$. В этом уравнении переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени. Следовательно, это уравнение является линейным, и его графиком будет прямая.

Рассмотрим второе уравнение: $\frac{2}{x}+y=5$. В этом уравнении переменная $x$ находится в знаменателе, что эквивалентно степени $x^{-1}$. Поскольку степень переменной $x$ не равна 1, это уравнение не является линейным. Его график — гипербола, а не прямая.

Ответ: Прямая является графиком уравнения $\frac{x}{2}+y=5$.

Назовите коэффициенты a, b и c в уравнении прямой.

Общий вид уравнения прямой, для которого определяются коэффициенты $a, b, c$, это $ax+by+c=0$.

Мы установили, что уравнение прямой — это $\frac{x}{2}+y=5$. Чтобы найти коэффициенты, приведем это уравнение к общему виду, перенеся все члены в левую часть:

$\frac{x}{2}+y-5=0$

Теперь сравним полученное уравнение с общим видом $ax+by+c=0$. Коэффициент при $x$ (a) равен $\frac{1}{2}$, коэффициент при $y$ (b) равен $1$, а свободный член (c) равен $-5$.

Ответ: $a = \frac{1}{2}$, $b = 1$, $c = -5$.

Во фрагменте 2 рассмотрены два способа построения графика уравнения $x - 3y + 6 = 0$. Что общего у этих способов и чем они различаются? Пользуясь этим примером как образцом, постройте двумя способами прямую, которая задаётся уравнением $2x - y = 4$.

В задаче рассматриваются два способа построения графика линейного уравнения. Хотя сам "фрагмент 2" не приведён, можно предположить, что речь идёт о двух стандартных методах: 1) построение по двум произвольным точкам и 2) построение по точкам пересечения с осями координат.

Общее у этих способов:
Оба способа основаны на фундаментальном свойстве прямой: для её построения достаточно знать координаты двух точек, которые ей принадлежат. В обоих случаях алгоритм сводится к тому, чтобы найти две пары координат $(x, y)$, удовлетворяющие уравнению, нанести соответствующие точки на координатную плоскость и провести через них прямую.

Различия между способами:
Различие заключается в принципе выбора этих двух точек.
• В первом способе (по двум произвольным точкам) мы можем выбрать два любых удобных значения для одной переменной (например, $x$) и вычислить соответствующие значения для второй переменной ($y$). Выбор полностью произволен.
• Во втором способе (по точкам пересечения с осями) выбор точек строго определён. Мы находим точки, в которых прямая пересекает оси координат. Для этого сначала полагаем $x=0$, чтобы найти точку пересечения с осью $Oy$, а затем $y=0$, чтобы найти точку пересечения с осью $Ox$. Этот метод является частным случаем первого.

Далее построим прямую, заданную уравнением $2x - y = 4$, двумя способами.

Способ 1: Построение по двум произвольным точкам
Для удобства вычислений выразим $y$ из уравнения:
$2x - y = 4$
$y = 2x - 4$
Теперь найдём координаты двух произвольных точек, принадлежащих этой прямой.
1. Пусть $x = 1$. Тогда $y = 2 \cdot 1 - 4 = 2 - 4 = -2$. Получили первую точку $(1; -2)$.
2. Пусть $x = 3$. Тогда $y = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2$. Получили вторую точку $(3; 2)$.
Отметив на координатной плоскости точки $(1; -2)$ и $(3; 2)$ и проведя через них прямую, мы получим искомый график.
Ответ: Прямая строится по точкам с координатами $(1; -2)$ и $(3; 2)$.

Способ 2: Построение по точкам пересечения с осями координат
Используем исходное уравнение $2x - y = 4$.
1. Найдём точку пересечения прямой с осью ординат ($Oy$). Для этого подставим в уравнение $x = 0$:
$2 \cdot 0 - y = 4$
$-y = 4$
$y = -4$
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; -4)$.
2. Найдём точку пересечения прямой с осью абсцисс ($Ox$). Для этого подставим в уравнение $y = 0$:
$2x - 0 = 4$
$2x = 4$
$x = 2$
Координаты точки пересечения с осью $Ox$: $(2; 0)$.
Отметив на координатной плоскости точки $(0; -4)$ и $(2; 0)$ и проведя через них прямую, мы получим тот же самый график.
Ответ: Прямая строится по точкам пересечения с осями координат: $(0; -4)$ и $(2; 0)$.

Графики каких уравнений, не являющихся линейными, вам знакомы?

Помимо линейных уравнений, графиком которых является прямая линия, существует множество других уравнений с характерными графиками. Вот некоторые из наиболее известных:

Квадратичная функция (парабола)
Это функция, заданная уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Графиком этого уравнения является парабола — симметричная кривая, напоминающая по форме букву U. Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x = -b/(2a)$. Простейшим примером является график функции $y = x^2$.
Ответ: Парабола, график уравнения $y = ax^2 + bx + c$.

Обратная пропорциональность (гипербола)
Это функция, заданная уравнением вида $y = k/x$, где $k \neq 0$. Ее графиком является гипербола. Она состоит из двух отдельных ветвей, симметричных относительно начала координат. Эти ветви асимптотически приближаются к осям координат, но никогда их не пересекают. При $k > 0$ ветви расположены в первой и третьей координатных четвертях, а при $k < 0$ — во второй и четвертой.
Ответ: Гипербола, график уравнения $y = k/x$.

Функция квадратного корня
Эта функция задается уравнением $y = \sqrt{x}$. Область определения этой функции — $x \ge 0$. График представляет собой ветвь параболы, которая "лежит на боку". Он начинается в точке $(0, 0)$ и плавно поднимается, уходя вправо и вверх.
Ответ: Ветвь параболы, график уравнения $y = \sqrt{x}$.

Уравнение окружности
Уравнение окружности с центром в точке с координатами $(a, b)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. В частном случае, когда центр находится в начале координат $(0, 0)$, уравнение выглядит как $x^2 + y^2 = R^2$. Графиком является окружность — замкнутая кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии (радиусе) от центра. Важно отметить, что окружность не является графиком функции $y(x)$, так как одному значению $x$ (кроме крайних точек) соответствуют два значения $y$.
Ответ: Окружность, график уравнения $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$.

Функция модуля (абсолютной величины)
Функция, заданная уравнением $y = |x|$. График этой функции имеет характерную V-образную форму (иногда ее называют "галочкой") с вершиной в начале координат. Он состоит из двух лучей: биссектрисы первого координатного угла ($y = x$ при $x \ge 0$) и биссектрисы второго координатного угла ($y = -x$ при $x < 0$). Хотя график состоит из линейных участков, сама функция является нелинейной.
Ответ: График модуля ("галочка"), график уравнения $y = |x|$.

586 Выпишите уравнения, графиками которых являются прямые:

1) $x^2 - y^2 = 1;$

2) $x + y = 1;$

3) $2x + 3y = 4;$

4) $xy = 1;$

5) $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + 2 = 0;$

6) $\frac{2}{x} - \frac{3}{y} + 2 = 0;$

7) $3x - 4y = 12;$

8) $\frac{x - y}{3} = 1.$

Общий вид уравнения прямой — $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$ и $C$ — некоторые числа, причем $A$ и $B$ не равны нулю одновременно. Переменные $x$ и $y$ должны быть в первой степени. Проанализируем каждое из предложенных уравнений.

1) Уравнение $x^2 - y^2 = 1$ содержит переменные $x$ и $y$ во второй степени. Уравнения такого вида не являются линейными, и их графики не являются прямыми. Графиком данного уравнения является кривая, называемая гиперболой.
Ответ: не является уравнением прямой.

2) Уравнение $x + y = 1$ является линейным, так как его можно записать в виде $1x + 1y - 1 = 0$, что соответствует общему виду уравнения прямой.
Ответ: является уравнением прямой.

3) Уравнение $2x + 3y = 4$ является линейным. Его можно представить в виде $2x + 3y - 4 = 0$, что соответствует общему виду уравнения прямой.
Ответ: является уравнением прямой.

4) Уравнение $xy = 1$ содержит произведение переменных. Оно не может быть приведено к виду $Ax + By + C = 0$. Если выразить $y$, получим $y = \frac{1}{x}$, что является уравнением гиперболы.
Ответ: не является уравнением прямой.

5) Уравнение $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + 2 = 0$ можно преобразовать. Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателей: $6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot \frac{y}{3} + 6 \cdot 2 = 0$, что дает $3x - 2y + 12 = 0$. Это линейное уравнение.
Ответ: является уравнением прямой.

6) В уравнении $\frac{2}{x} - \frac{3}{y} + 2 = 0$ переменные $x$ и $y$ находятся в знаменателе дробей. Такое уравнение не является линейным, и его график не является прямой линией.
Ответ: не является уравнением прямой.

7) Уравнение $3x - 4y = 12$ является линейным, так как оно имеет вид $3x - 4y - 12 = 0$, что соответствует общему виду уравнения прямой.
Ответ: является уравнением прямой.

8) Уравнение $\frac{x-y}{3} = 1$ можно упростить, умножив обе части на 3: $x - y = 3$. Полученное уравнение $x - y - 3 = 0$ является линейным.
Ответ: является уравнением прямой.

Таким образом, уравнения, графиками которых являются прямые: $x + y = 1$; $2x + 3y = 4$; $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + 2 = 0$; $3x - 4y = 12$; $\frac{x-y}{3} = 1$.

586 Выпишите уравнения, графиками которых являются прямые:

1) $x^2 - y^2 = 1;$

2) $x + y = 1;$

3) $2x + 3y = 4;$

4) $xy = 1;$

5) $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + 2 = 0;$

6) $\frac{2}{x} - \frac{3}{y} + 2 = 0;$

7) $3x - 4y = 12;$

8) $\frac{x - y}{3} = 1.$

587 На рисунке 4.11 изображён график уравнения $2x + y = 5$. Найдите с помощью графика несколько решений этого уравнения, составленных из целых чисел. Проверьте подстановкой, правильно ли вы указали решения.

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ

(588–589)

588 Постройте прямую, являющуюся графиком уравнения, найдя точки пересечения с осями координат:

а) $x + y = 5;$ в) $x - y + 1 = 0;$

б) $x - y = 3;$ г) $x + y + 4 = 0.$

Рис. 4.11

586

Графиком уравнения является прямая, если это уравнение является линейным, то есть его можно привести к виду $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$ и $C$ — некоторые числа, причем коэффициенты $A$ и $B$ при переменных не равны нулю одновременно. Проанализируем каждое уравнение:

1) $x^2 - y^2 = 1$ — не является уравнением прямой, так как переменные $x$ и $y$ находятся во второй степени. Это уравнение гиперболы.

2) $x + y = 1$ — является уравнением прямой (линейное уравнение с двумя переменными).

3) $2x + 3y = 4$ — является уравнением прямой.

4) $xy = 1$ — не является уравнением прямой, так как содержит произведение переменных. Это уравнение гиперболы.

5) $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + 2 = 0$ — является уравнением прямой. Если умножить обе части на 6, получим равносильное уравнение $3x - 2y + 12 = 0$, которое является линейным.

6) $\frac{2}{x} - \frac{3}{y} + 2 = 0$ — не является уравнением прямой, так как переменные находятся в знаменателе.

7) $3x - 4y = 12$ — является уравнением прямой.

8) $\frac{x - y}{3} = 1$ — является уравнением прямой. Если умножить обе части на 3, получим равносильное уравнение $x - y = 3$, которое является линейным.

Ответ: 2, 3, 5, 7, 8.

587

Чтобы найти решения уравнения $2x + y = 5$, составленные из целых чисел, необходимо найти на графике точки, через которые проходит прямая и у которых обе координаты (абсцисса $x$ и ордината $y$) являются целыми числами.

С помощью графика можно найти следующие точки с целочисленными координатами: $(-2, 9)$, $(-1, 7)$, $(0, 5)$, $(1, 3)$, $(2, 1)$, $(3, -1)$, $(4, -3)$.

Проверим несколько найденных решений подстановкой в исходное уравнение $2x + y = 5$:
Для точки $(1, 3)$: $2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$. Равенство $5 = 5$ верное.
Для точки $(2, 1)$: $2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$. Равенство $5 = 5$ верное.
Для точки $(0, 5)$: $2 \cdot 0 + 5 = 0 + 5 = 5$. Равенство $5 = 5$ верное.
Все указанные точки являются решениями уравнения.

Ответ: Несколько решений в целых числах: $(0, 5)$, $(1, 3)$, $(2, 1)$, $(3, -1)$.

588

Для построения прямой, являющейся графиком уравнения, найдем точки пересечения с осями координат. Точка пересечения с осью абсцисс (Ox) имеет ординату $y=0$. Точка пересечения с осью ординат (Oy) имеет абсциссу $x=0$.

а) Для уравнения $x + y = 5$:
Точка пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x + 0 = 5 \implies x=5$. Координаты точки: $(5, 0)$.
Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $0 + y = 5 \implies y=5$. Координаты точки: $(0, 5)$.
Прямая проходит через точки $(5, 0)$ и $(0, 5)$.
Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(5, 0)$ и $(0, 5)$.

б) Для уравнения $x - y = 3$:
Точка пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x - 0 = 3 \implies x=3$. Координаты точки: $(3, 0)$.
Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $0 - y = 3 \implies y=-3$. Координаты точки: $(0, -3)$.
Прямая проходит через точки $(3, 0)$ и $(0, -3)$.
Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(3, 0)$ и $(0, -3)$.

в) Для уравнения $x - y + 1 = 0$:
Точка пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x - 0 + 1 = 0 \implies x=-1$. Координаты точки: $(-1, 0)$.
Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $0 - y + 1 = 0 \implies y=1$. Координаты точки: $(0, 1)$.
Прямая проходит через точки $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.
Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

г) Для уравнения $x + y + 4 = 0$:
Точка пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x + 0 + 4 = 0 \implies x=-4$. Координаты точки: $(-4, 0)$.
Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $0 + y + 4 = 0 \implies y=-4$. Координаты точки: $(0, -4)$.
Прямая проходит через точки $(-4, 0)$ и $(0, -4)$.
Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(-4, 0)$ и $(0, -4)$.

588 Постройте прямую, являющуюся графиком уравнения, найдя точки пересечения с осями координат:

а) $x + y = 5;$

б) $x - y = 3;$

в) $x - y + 1 = 0;$

г) $x + y + 4 = 0.$

а) Дано уравнение $x + y = 5$.

Графиком этого линейного уравнения является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Самый удобный способ — найти точки пересечения прямой с осями координат.

1. Нахождение точки пересечения с осью ординат (Oy).
Абсцисса любой точки, лежащей на оси Oy, равна нулю, то есть $x = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$0 + y = 5$
$y = 5$
Следовательно, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, 5)$.

2. Нахождение точки пересечения с осью абсцисс (Ox).
Ордината любой точки, лежащей на оси Ox, равна нулю, то есть $y = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$x + 0 = 5$
$x = 5$
Следовательно, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(5, 0)$.

Построение прямой.
Отметим на координатной плоскости точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$. Проведем через них прямую. Эта прямая и будет графиком уравнения $x + y = 5$.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(5, 0)$ и $(0, 5)$.

б) Дано уравнение $x - y = 3$.

Аналогично предыдущему пункту, найдем точки пересечения с осями координат.

1. Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$0 - y = 3$
$-y = 3$
$y = -3$
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.

2. Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$x - 0 = 3$
$x = 3$
Точка пересечения с осью Ox: $(3, 0)$.

Построение прямой.
Отметим на координатной плоскости точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$ и проведем через них прямую.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(3, 0)$ и $(0, -3)$.

в) Дано уравнение $x - y + 1 = 0$.

Найдем точки пересечения с осями координат.

1. Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$0 - y + 1 = 0$
$-y = -1$
$y = 1$
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$.

2. Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$x - 0 + 1 = 0$
$x = -1$
Точка пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$.

Построение прямой.
Отметим на координатной плоскости точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$ и проведем через них прямую.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

г) Дано уравнение $x + y + 4 = 0$.

Найдем точки пересечения с осями координат.

1. Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$0 + y + 4 = 0$
$y = -4$
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -4)$.

2. Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$x + 0 + 4 = 0$
$x = -4$
Точка пересечения с осью Ox: $(-4, 0)$.

Построение прямой.
Отметим на координатной плоскости точки $(0, -4)$ и $(-4, 0)$ и проведем через них прямую.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(-4, 0)$ и $(0, -4)$.