Номер 587, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 587, страница 177.

Условие.

586 Выпишите уравнения, графиками которых являются прямые:

1) $x^2 - y^2 = 1;$

2) $x + y = 1;$

3) $2x + 3y = 4;$

4) $xy = 1;$

5) $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + 2 = 0;$

6) $\frac{2}{x} - \frac{3}{y} + 2 = 0;$

7) $3x - 4y = 12;$

8) $\frac{x - y}{3} = 1.$

587 На рисунке 4.11 изображён график уравнения $2x + y = 5$. Найдите с помощью графика несколько решений этого уравнения, составленных из целых чисел. Проверьте подстановкой, правильно ли вы указали решения.

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ

(588–589)

588 Постройте прямую, являющуюся графиком уравнения, найдя точки пересечения с осями координат:

а) $x + y = 5;$ в) $x - y + 1 = 0;$

б) $x - y = 3;$ г) $x + y + 4 = 0.$

Рис. 4.11

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

586

Графиком уравнения является прямая, если это уравнение является линейным, то есть его можно привести к виду $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$ и $C$ — некоторые числа, причем коэффициенты $A$ и $B$ при переменных не равны нулю одновременно. Проанализируем каждое уравнение:

1) $x^2 - y^2 = 1$ — не является уравнением прямой, так как переменные $x$ и $y$ находятся во второй степени. Это уравнение гиперболы.

2) $x + y = 1$ — является уравнением прямой (линейное уравнение с двумя переменными).

3) $2x + 3y = 4$ — является уравнением прямой.

4) $xy = 1$ — не является уравнением прямой, так как содержит произведение переменных. Это уравнение гиперболы.

5) $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + 2 = 0$ — является уравнением прямой. Если умножить обе части на 6, получим равносильное уравнение $3x - 2y + 12 = 0$, которое является линейным.

6) $\frac{2}{x} - \frac{3}{y} + 2 = 0$ — не является уравнением прямой, так как переменные находятся в знаменателе.

7) $3x - 4y = 12$ — является уравнением прямой.

8) $\frac{x - y}{3} = 1$ — является уравнением прямой. Если умножить обе части на 3, получим равносильное уравнение $x - y = 3$, которое является линейным.

Ответ: 2, 3, 5, 7, 8.

587

Чтобы найти решения уравнения $2x + y = 5$, составленные из целых чисел, необходимо найти на графике точки, через которые проходит прямая и у которых обе координаты (абсцисса $x$ и ордината $y$) являются целыми числами.

С помощью графика можно найти следующие точки с целочисленными координатами: $(-2, 9)$, $(-1, 7)$, $(0, 5)$, $(1, 3)$, $(2, 1)$, $(3, -1)$, $(4, -3)$.

Проверим несколько найденных решений подстановкой в исходное уравнение $2x + y = 5$:
Для точки $(1, 3)$: $2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$. Равенство $5 = 5$ верное.
Для точки $(2, 1)$: $2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$. Равенство $5 = 5$ верное.
Для точки $(0, 5)$: $2 \cdot 0 + 5 = 0 + 5 = 5$. Равенство $5 = 5$ верное.
Все указанные точки являются решениями уравнения.

Ответ: Несколько решений в целых числах: $(0, 5)$, $(1, 3)$, $(2, 1)$, $(3, -1)$.

588

Для построения прямой, являющейся графиком уравнения, найдем точки пересечения с осями координат. Точка пересечения с осью абсцисс (Ox) имеет ординату $y=0$. Точка пересечения с осью ординат (Oy) имеет абсциссу $x=0$.

а) Для уравнения $x + y = 5$:
Точка пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x + 0 = 5 \implies x=5$. Координаты точки: $(5, 0)$.
Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $0 + y = 5 \implies y=5$. Координаты точки: $(0, 5)$.
Прямая проходит через точки $(5, 0)$ и $(0, 5)$.
Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(5, 0)$ и $(0, 5)$.

б) Для уравнения $x - y = 3$:
Точка пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x - 0 = 3 \implies x=3$. Координаты точки: $(3, 0)$.
Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $0 - y = 3 \implies y=-3$. Координаты точки: $(0, -3)$.
Прямая проходит через точки $(3, 0)$ и $(0, -3)$.
Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(3, 0)$ и $(0, -3)$.

в) Для уравнения $x - y + 1 = 0$:
Точка пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x - 0 + 1 = 0 \implies x=-1$. Координаты точки: $(-1, 0)$.
Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $0 - y + 1 = 0 \implies y=1$. Координаты точки: $(0, 1)$.
Прямая проходит через точки $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.
Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

г) Для уравнения $x + y + 4 = 0$:
Точка пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x + 0 + 4 = 0 \implies x=-4$. Координаты точки: $(-4, 0)$.
Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $0 + y + 4 = 0 \implies y=-4$. Координаты точки: $(0, -4)$.
Прямая проходит через точки $(-4, 0)$ и $(0, -4)$.
Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(-4, 0)$ и $(0, -4)$.