Страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

568 На диаграмме (рис. 3.7) показано распределение площади земной суши между материками и частями света.

1 Африка
2 Южная Америка
3 Северная Америка
4 Азия
5 Европа
6 Австралия
7 Антарктида

Рис. 3.7

1) Используя диаграмму, проверьте, все ли данные ниже утверждения являются верными:

а) Площадь Азии составляет чуть менее трети всей суши Земли.

б) Площадь Азии равна сумме площадей Северной и Южной Америки.

в) Сумма площадей Африки и всей Америки составляет более половины всей суши.

г) Площадь Африки равна сумме площадей Европы, Австралии и Антарктиды.

2) Общая площадь суши на нашей планете равна $1,49 \cdot 10^8 \text{ км}^2$. Вычислите по данным диаграммы площадь каждого материка и каждой части света. Результаты запишите, используя стандартный вид числа.

1)

Для проверки утверждений проанализируем круговую диаграмму. Определим доли, которые занимает каждый материк и часть света, в процентах от общей площади суши. Исходя из визуальных пропорций секторов, а также для того, чтобы равенства в пунктах б) и г) выполнялись, можно принять следующие значения долей, которые в сумме дают 100%:

• 1. Африка: 20%
• 2. Южная Америка: 14%
• 3. Северная Америка: 16%
• 4. Азия: 30%
• 5. Европа: 6%
• 6. Австралия: 4%
• 7. Антарктида: 10%

Теперь проверим каждое утверждение, используя эти процентные доли.

а)

Утверждение гласит, что площадь Азии составляет чуть менее трети всей суши Земли. Треть от всей площади составляет $1/3 \approx 33,3\%$. Доля Азии составляет 30%, что действительно немного меньше трети. Следовательно, утверждение верное.

Ответ: утверждение верное.

б)

Утверждение гласит, что площадь Азии равна сумме площадей Северной и Южной Америки. Площадь Азии — 30%. Сумма площадей Северной Америки (16%) и Южной Америки (14%) составляет $16\% + 14\% = 30\%$. Так как $30\% = 30\%$, утверждение верное.

Ответ: утверждение верное.

в)

Утверждение гласит, что сумма площадей Африки и всей Америки составляет более половины всей суши. Площадь Африки — 20%. Суммарная площадь Северной и Южной Америки — $16\% + 14\% = 30\%$. Их общая сумма равна $20\% + 30\% = 50\%$. Это значение равно ровно половине (50%), но не "более половины". Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверное.

г)

Утверждение гласит, что площадь Африки равна сумме площадей Европы, Австралии и Антарктиды. Площадь Африки — 20%. Сумма площадей Европы (6%), Австралии (4%) и Антарктиды (10%) составляет $6\% + 4\% + 10\% = 20\%$. Так как $20\% = 20\%$, утверждение верное.

Ответ: утверждение верное.

2)

Общая площадь суши на нашей планете равна $1,49 \cdot 10^8$ км². Вычислим площадь каждого материка и части света, используя процентные доли, определенные выше. Результаты запишем в стандартном виде числа ($a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$).

• Африка (20%): $0,20 \cdot 1,49 \cdot 10^8 = 0,298 \cdot 10^8 = 2,98 \cdot 10^7$ км²
• Южная Америка (14%): $0,14 \cdot 1,49 \cdot 10^8 = 0,2086 \cdot 10^8 = 2,086 \cdot 10^7$ км²
• Северная Америка (16%): $0,16 \cdot 1,49 \cdot 10^8 = 0,2384 \cdot 10^8 = 2,384 \cdot 10^7$ км²
• Азия (30%): $0,30 \cdot 1,49 \cdot 10^8 = 0,447 \cdot 10^8 = 4,47 \cdot 10^7$ км²
• Европа (6%): $0,06 \cdot 1,49 \cdot 10^8 = 0,0894 \cdot 10^8 = 8,94 \cdot 10^6$ км²
• Австралия (4%): $0,04 \cdot 1,49 \cdot 10^8 = 0,0596 \cdot 10^8 = 5,96 \cdot 10^6$ км²
• Антарктида (10%): $0,10 \cdot 1,49 \cdot 10^8 = 0,149 \cdot 10^8 = 1,49 \cdot 10^7$ км²

Ответ: Африка — $2,98 \cdot 10^7$ км²; Южная Америка — $2,086 \cdot 10^7$ км²; Северная Америка — $2,384 \cdot 10^7$ км²; Азия — $4,47 \cdot 10^7$ км²; Европа — $8,94 \cdot 10^6$ км²; Австралия — $5,96 \cdot 10^6$ км²; Антарктида — $1,49 \cdot 10^7$ км².

569 В таблице представлены результаты нескольких ведущих биатлонистов в стрельбе за сезон 2010/11 года.

Фамилия, страна, Число гонок, Стрельба в положении лёжа: Закрыто мишеней, Стрельба в положении лёжа: Всего мишеней, Стрельба в положении стоя: Закрыто мишеней, Стрельба в положении стоя: Всего мишеней

Е. Устюгов, Россия, 19, 149, 155, 122, 155

Т. Сикора, Польша, 14, 103, 110, 97, 110

М. Фуркад, Франция, 25, 183, 200, 165, 200

Э. Х. Свенсен, Норвегия, 24, 178, 195, 158, 195

М. Максимов, Россия, 13, 91, 100, 77, 100

Т. Бо, Норвегия, 26, 189, 210, 176, 210

1) Для каждого биатлониста вычислите частоту попадания из положения лёжа и частоту попадания из положения стоя. Постройте по этим данным столбчатую диаграмму.

2) Используя полученные вами результаты, ответьте на вопросы:

а) У кого из биатлонистов вероятность того, что он закроет мишень из положения лёжа, выше? А из положения стоя?

б) Равны ли для биатлониста частоты событий «закрыть мишень из положения лёжа» и «закрыть мишень из положения стоя»? Как вы думаете, равны ли вероятности этих событий?

3) Для каждого биатлониста вычислите среднее число промахов за одну гонку.

Частота попадания (статистическая вероятность) вычисляется по формуле: $Частота = \frac{Число \, успешных \, исходов}{Общее \, число \, испытаний}$.

Вычислим частоту попадания для каждого биатлониста из положения лёжа ($Ч_л$) и из положения стоя ($Ч_с$).

• Е. Устюгов (Россия):
  $Ч_л = \frac{149}{155} \approx 0.961$
  $Ч_с = \frac{122}{155} \approx 0.787$
• Т. Сикора (Польша):
  $Ч_л = \frac{103}{110} \approx 0.936$
  $Ч_с = \frac{97}{110} \approx 0.882$
• М. Фуркад (Франция):
  $Ч_л = \frac{183}{200} = 0.915$
  $Ч_с = \frac{165}{200} = 0.825$
• Э. Х. Свенсен (Норвегия):
  $Ч_л = \frac{178}{195} \approx 0.913$
  $Ч_с = \frac{158}{195} \approx 0.810$
• М. Максимов (Россия):
  $Ч_л = \frac{91}{100} = 0.910$
  $Ч_с = \frac{77}{100} = 0.770$
• Т. Бо (Норвегия):
  $Ч_л = \frac{189}{210} = 0.900$
  $Ч_с = \frac{176}{210} \approx 0.838$

На основе этих данных можно построить столбчатую диаграмму. По горизонтальной оси располагаются фамилии биатлонистов, а по вертикальной — шкала частоты от 0 до 1. Для каждого спортсмена строятся два столбца: один для стрельбы лёжа, другой — для стрельбы стоя.

Сводная таблица с результатами:

Ответ: Частоты попаданий для каждого биатлониста рассчитаны и представлены в решении и сводной таблице.

а) Для ответа на этот вопрос используем вычисленные частоты как оценку вероятности.

• Вероятность закрыть мишень из положения лёжа:
  Сравнивая частоты попадания лёжа (0.961, 0.936, 0.915, 0.913, 0.910, 0.900), мы видим, что самое высокое значение у Е. Устюгова ($\approx 0.961$).
• Вероятность закрыть мишень из положения стоя:
  Сравнивая частоты попадания стоя (0.787, 0.882, 0.825, 0.810, 0.770, 0.838), мы видим, что самое высокое значение у Т. Сикоры ($\approx 0.882$).

Ответ: Наибольшая вероятность закрыть мишень из положения лёжа у Е. Устюгова. Наибольшая вероятность закрыть мишень из положения стоя у Т. Сикоры.

б) Сравним для каждого биатлониста частоты попадания из положения лёжа ($Ч_л$) и из положения стоя ($Ч_с$). У всех без исключения биатлонистов в представленной таблице $Ч_л > Ч_с$. Например, у Е. Устюгова $0.961 \neq 0.787$, у Т. Сикоры $0.936 \neq 0.882$ и так далее. Следовательно, частоты этих событий не равны.

Поскольку частота является статистической оценкой вероятности, а данные собраны за целый сезон (большое число испытаний), можно с высокой степенью уверенности утверждать, что и сами вероятности этих событий не равны. В биатлоне стрельба из положения лёжа считается более стабильной и лёгкой, чем из положения стоя, что и подтверждается статистикой. Поэтому вероятность попадания лёжа почти всегда выше.

Ответ: Нет, частоты этих событий для биатлонистов не равны. Можно предположить, что и вероятности этих событий не равны.

Среднее число промахов за одну гонку рассчитывается как отношение общего числа промахов к числу гонок. $Общее \, число \, промахов = (Всего \, выстрелов \, лёжа - Попаданий \, лёжа) + (Всего \, выстрелов \, стоя - Попаданий \, стоя)$.

• Е. Устюгов: Промахи: $(155 - 149) + (155 - 122) = 6 + 33 = 39$. Среднее: $\frac{39}{19} \approx 2.05$
• Т. Сикора: Промахи: $(110 - 103) + (110 - 97) = 7 + 13 = 20$. Среднее: $\frac{20}{14} \approx 1.43$
• М. Фуркад: Промахи: $(200 - 183) + (200 - 165) = 17 + 35 = 52$. Среднее: $\frac{52}{25} = 2.08$
• Э. Х. Свенсен: Промахи: $(195 - 178) + (195 - 158) = 17 + 37 = 54$. Среднее: $\frac{54}{24} = 2.25$
• М. Максимов: Промахи: $(100 - 91) + (100 - 77) = 9 + 23 = 32$. Среднее: $\frac{32}{13} \approx 2.46$
• Т. Бо: Промахи: $(210 - 189) + (210 - 176) = 21 + 34 = 55$. Среднее: $\frac{55}{26} \approx 2.12$

Ответ: Среднее число промахов за одну гонку составляет: Е. Устюгов ≈ 2.05; Т. Сикора ≈ 1.43; М. Фуркад = 2.08; Э. Х. Свенсен = 2.25; М. Максимов ≈ 2.46; Т. Бо ≈ 2.12.