Страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

544 Сократите дробь:

a) $\frac{x^3 + 1}{3x^2 + 2x - 1}$;

б) $\frac{x^3 - 1}{2x^2 + x - 3}$;

В) $\frac{1 - x^2}{5x^2 - 4x - 1}$;

Г) $\frac{2x^2 - 7x + 3}{x - 2x^2}$;

Д) $\frac{5 + 3x - 2x^2}{1 - x - 2x^2}$;

е) $\frac{3x^2 - 4x - 4}{6 - x - x^2}$.

а)
Дана дробь $\frac{x^3 + 1}{3x^2 + 2x - 1}$.
Чтобы сократить дробь, нужно разложить на множители числитель и знаменатель.
Числитель $x^3 + 1$ — это сумма кубов. Используем формулу $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:
$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x+1)(x^2 - x + 1)$.
Знаменатель $3x^2 + 2x - 1$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $3x^2 + 2x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = -1$; $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Разложим трехчлен по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$3x^2 + 2x - 1 = 3(x - (-1))(x - \frac{1}{3}) = 3(x+1)(x - \frac{1}{3}) = (x+1)(3x-1)$.
Теперь подставим разложения в исходную дробь:
$\frac{x^3 + 1}{3x^2 + 2x - 1} = \frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{(x+1)(3x - 1)}$.
Сокращаем общий множитель $(x+1)$:
$\frac{x^2 - x + 1}{3x - 1}$.
Ответ: $\frac{x^2 - x + 1}{3x - 1}$

б)
Дана дробь $\frac{x^3 - 1}{2x^2 + x - 3}$.
Разложим числитель $x^3 - 1$ по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:
$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x-1)(x^2 + x + 1)$.
Разложим на множители знаменатель $2x^2 + x - 3$, найдя корни уравнения $2x^2 + x - 3 = 0$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$; $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = 1$.
$2x^2 + x - 3 = 2(x-1)(x-(-\frac{3}{2})) = 2(x-1)(x+\frac{3}{2}) = (x-1)(2x+3)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x-1)(2x+3)}$.
Сократим на $(x-1)$:
$\frac{x^2 + x + 1}{2x+3}$.
Ответ: $\frac{x^2 + x + 1}{2x + 3}$

в)
Дана дробь $\frac{1 - x^2}{5x^2 - 4x - 1}$.
Разложим числитель $1 - x^2$ по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$1 - x^2 = (1-x)(1+x)$.
Разложим знаменатель $5x^2 - 4x - 1$. Корни уравнения $5x^2 - 4x - 1 = 0$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.
$x_1 = \frac{4 - \sqrt{36}}{10} = \frac{4-6}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$; $x_2 = \frac{4 + \sqrt{36}}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
$5x^2 - 4x - 1 = 5(x-1)(x-(-\frac{1}{5})) = 5(x-1)(x+\frac{1}{5}) = (x-1)(5x+1)$.
Подставим в дробь:
$\frac{(1-x)(1+x)}{(x-1)(5x+1)} = \frac{-(x-1)(x+1)}{(x-1)(5x+1)}$.
Сократим на $(x-1)$:
$\frac{-(x+1)}{5x+1} = -\frac{x+1}{5x+1}$.
Ответ: $-\frac{x+1}{5x+1}$

г)
Дана дробь $\frac{2x^2 - 7x + 3}{x - 2x^2}$.
Разложим числитель $2x^2 - 7x + 3$. Корни уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
$x_1 = \frac{7 - \sqrt{25}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $x_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$2x^2 - 7x + 3 = 2(x-\frac{1}{2})(x-3) = (2x-1)(x-3)$.
Разложим знаменатель $x - 2x^2$:
$x - 2x^2 = x(1-2x) = -x(2x-1)$.
Подставим в дробь:
$\frac{(2x-1)(x-3)}{-x(2x-1)}$.
Сократим на $(2x-1)$:
$\frac{x-3}{-x} = -\frac{x-3}{x} = \frac{3-x}{x}$.
Ответ: $\frac{3-x}{x}$

д)
Дана дробь $\frac{5 + 3x - 2x^2}{1 - x - 2x^2}$.
Перепишем многочлены в стандартном виде: $\frac{-2x^2 + 3x + 5}{-2x^2 - x + 1}$.
Разложим числитель $-2x^2 + 3x + 5$. Корни уравнения $-2x^2 + 3x + 5 = 0$:
$D = 3^2 - 4(-2)(5) = 9 + 40 = 49$.
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{-4} = \frac{-10}{-4} = \frac{5}{2}$; $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$.
$-2x^2 + 3x + 5 = -2(x-\frac{5}{2})(x+1) = -(2x-5)(x+1) = (5-2x)(x+1)$.
Разложим знаменатель $-2x^2 - x + 1$. Корни уравнения $-2x^2 - x + 1 = 0$:
$D = (-1)^2 - 4(-2)(1) = 1 + 8 = 9$.
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$; $x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$.
$-2x^2 - x + 1 = -2(x-\frac{1}{2})(x+1) = -(2x-1)(x+1) = (1-2x)(x+1)$.
Подставим в дробь:
$\frac{(5-2x)(x+1)}{(1-2x)(x+1)}$.
Сократим на $(x+1)$:
$\frac{5-2x}{1-2x}$.
Ответ: $\frac{5-2x}{1-2x}$

е)
Дана дробь $\frac{3x^2 - 4x - 4}{6 - x - x^2}$.
Перепишем знаменатель в стандартном виде: $\frac{3x^2 - 4x - 4}{-x^2 - x + 6}$.
Разложим числитель $3x^2 - 4x - 4$. Корни уравнения $3x^2 - 4x - 4 = 0$:
$D = (-4)^2 - 4(3)(-4) = 16 + 48 = 64$.
$x_1 = \frac{4 - \sqrt{64}}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$; $x_2 = \frac{4 + \sqrt{64}}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
$3x^2 - 4x - 4 = 3(x-2)(x+\frac{2}{3}) = (x-2)(3x+2)$.
Разложим знаменатель $-x^2 - x + 6$. Корни уравнения $-x^2 - x + 6 = 0$:
$D = (-1)^2 - 4(-1)(6) = 1 + 24 = 25$.
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$; $x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{-2} = \frac{6}{-2} = -3$.
$-x^2 - x + 6 = -(x-2)(x-(-3)) = -(x-2)(x+3)$.
Подставим в дробь:
$\frac{(x-2)(3x+2)}{-(x-2)(x+3)}$.
Сократим на $(x-2)$:
$\frac{3x+2}{-(x+3)} = -\frac{3x+2}{x+3}$.
Ответ: $-\frac{3x+2}{x+3}$

АНАЛИЗИРУЕМ (545–548) Разложите на множители:

545 a) $x^2(x-5) - x(x-5) - 42(x-5);$

б) $y^2(y+3) + 9y(y+3) + 20(y+3);$

в) $2v^2(1-v^2) - 5v(1-v^2) - 3(1-v^2);$

г) $3a^2(a^2-4) + 2a(a^2-4) - a^2+4.$

а) $x^2(x - 5) - x(x - 5) - 42(x - 5)$

В данном выражении есть общий множитель $(x - 5)$, который можно вынести за скобки:

$(x - 5)(x^2 - x - 42)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - x - 42$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 42 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-42$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -6$.

Следовательно, квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

$x^2 - x - 42 = (x - x_1)(x - x_2) = (x - 7)(x - (-6)) = (x - 7)(x + 6)$

Подставим полученное разложение в исходное выражение:

$(x - 5)(x - 7)(x + 6)$

Ответ: $(x - 5)(x - 7)(x + 6)$

б) $y^2(y + 3) + 9y(y + 3) + 20(y + 3)$

Вынесем общий множитель $(y + 3)$ за скобки:

$(y + 3)(y^2 + 9y + 20)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $y^2 + 9y + 20$. Найдем корни уравнения $y^2 + 9y + 20 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а их произведение равно $20$. Корни равны $y_1 = -4$ и $y_2 = -5$.

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$y^2 + 9y + 20 = (y - (-4))(y - (-5)) = (y + 4)(y + 5)$

Итоговое выражение:

$(y + 3)(y + 4)(y + 5)$

Ответ: $(y + 3)(y + 4)(y + 5)$

в) $2v^2(1 - v^2) - 5v(1 - v^2) - 3(1 - v^2)$

Вынесем общий множитель $(1 - v^2)$ за скобки:

$(1 - v^2)(2v^2 - 5v - 3)$

Первый множитель $(1 - v^2)$ является разностью квадратов и раскладывается как $(1 - v)(1 + v)$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $2v^2 - 5v - 3$. Для этого решим уравнение $2v^2 - 5v - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Найдем корни:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{4} = 3$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Разложим трехчлен по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$2v^2 - 5v - 3 = 2(v - 3)(v + \frac{1}{2}) = (v - 3)(2v + 1)$

Объединим все множители:

$(1 - v)(1 + v)(v - 3)(2v + 1)$

Ответ: $(1 - v)(1 + v)(v - 3)(2v + 1)$

г) $3a^2(a^2 - 4) + 2a(a^2 - 4) - a^2 + 4$

Сгруппируем последние два члена: $-a^2 + 4 = -(a^2 - 4)$.

Выражение примет вид: $3a^2(a^2 - 4) + 2a(a^2 - 4) - 1(a^2 - 4)$.

Вынесем общий множитель $(a^2 - 4)$ за скобки:

$(a^2 - 4)(3a^2 + 2a - 1)$

Первый множитель $(a^2 - 4)$ — это разность квадратов: $(a - 2)(a + 2)$.

Теперь разложим на множители трехчлен $3a^2 + 2a - 1$, решив уравнение $3a^2 + 2a - 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$a_2 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Разложим трехчлен на множители:

$3a^2 + 2a - 1 = 3(a - \frac{1}{3})(a - (-1)) = (3a - 1)(a + 1)$

Соберем все множители вместе:

$(a - 2)(a + 2)(a + 1)(3a - 1)$

Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a + 1)(3a - 1)$

546 a) $x^4 - 5x^2 + 4;$

Б) $m^4 - 13m^2 + 36;$

В) $4x^4 - 32x^2;$

Г) $3x^4 - 75.$

а) Данное выражение $x^4 - 5x^2 + 4$ является биквадратным трехчленом. Для его разложения на множители введем замену переменной.

Пусть $y = x^2$. Тогда исходное выражение примет вид квадратного трехчлена относительно переменной $y$:

$y^2 - 5y + 4$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $ay^2+by+c = a(y-y_1)(y-y_2)$:

$y^2 - 5y + 4 = (y - 1)(y - 4)$

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $x^2$ вместо $y$:

$(x^2 - 1)(x^2 - 4)$

Каждый из множителей в скобках является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

б) Это выражение $m^4 - 13m^2 + 36$ также является биквадратным трехчленом. Решим его методом замены переменной.

Пусть $y = m^2$. Тогда выражение преобразуется в квадратный трехчлен:

$y^2 - 13y + 36$

Найдем корни уравнения $y^2 - 13y + 36 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а произведение равно 36. Корнями являются числа $y_1 = 4$ и $y_2 = 9$.

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$y^2 - 13y + 36 = (y - 4)(y - 9)$

Произведем обратную замену, подставив $m^2$ вместо $y$:

$(m^2 - 4)(m^2 - 9)$

Оба множителя представляют собой разность квадратов. Разложим их по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$m^2 - 4 = m^2 - 2^2 = (m - 2)(m + 2)$

$m^2 - 9 = m^2 - 3^2 = (m - 3)(m + 3)$

Окончательный вид разложения:

$(m - 2)(m + 2)(m - 3)(m + 3)$

Ответ: $(m - 2)(m + 2)(m - 3)(m + 3)$

в) Для разложения выражения $4x^4 - 32x^2$ на множители сначала вынесем за скобки общий множитель.

Общим множителем для членов $4x^4$ и $32x^2$ является $4x^2$.

$4x^4 - 32x^2 = 4x^2(x^2 - 8)$

Выражение в скобках $x^2 - 8$ можно рассматривать как разность квадратов $x^2 - (\sqrt{8})^2$. Однако, так как 8 не является квадратом рационального числа, то в рамках разложения на множители с целыми коэффициентами выражение $x^2 - 8$ является неразложимым. Поэтому оставляем результат в таком виде.

Ответ: $4x^2(x^2 - 8)$

г) Начнем разложение выражения $3x^4 - 75$ с вынесения общего множителя за скобки.

Общий множитель для $3x^4$ и $75$ это число 3.

$3x^4 - 75 = 3(x^4 - 25)$

Выражение в скобках $x^4 - 25$ является разностью квадратов, так как $x^4 = (x^2)^2$ и $25 = 5^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^4 - 25 = (x^2)^2 - 5^2 = (x^2 - 5)(x^2 + 5)$

Таким образом, получаем следующее разложение:

$3(x^2 - 5)(x^2 + 5)$

Многочлены $x^2 - 5$ и $x^2 + 5$ не имеют рациональных корней и не разлагаются на множители с целыми коэффициентами. Поэтому это окончательный вид разложения.

Ответ: $3(x^2 - 5)(x^2 + 5)$

547 a) $(x + y)^2 - 3(x + y) - 10;$

б) $(a + b)^2 - 5(a + b) - 84;$

в) $(m + n)^2 + 3(m + n) + 2;$

г) $(a - 2)^2 + 4(a - 2) - 21;$

д) $(3 - y)^2 - 2(3 - y) - 35;$

е) $(1 - x)^2 - 6(1 - x) + 8.$

а) $(x + y)^2 - 3(x + y) - 10$

Для разложения на множители данного выражения воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = x + y$. Тогда исходное выражение примет вид:

$t^2 - 3t - 10$

Это квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 3t - 10 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = -(-3) = 3$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -10$.

Методом подбора находим корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -2$.

Таким образом, квадратный трехчлен раскладывается на множители следующим образом: $a(t - t_1)(t - t_2) = 1 \cdot (t - 5)(t - (-2)) = (t - 5)(t + 2)$.

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ выражение $x + y$:

$(x + y - 5)(x + y + 2)$

Ответ: $(x + y - 5)(x + y + 2)$

б) $(a + b)^2 - 5(a + b) - 84$

Введем замену переменной. Пусть $t = a + b$. Тогда выражение можно переписать в виде:

$t^2 - 5t - 84$

Разложим этот квадратный трехчлен на множители. Для этого найдем корни уравнения $t^2 - 5t - 84 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 5$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -84$.

Подбираем корни. Среди пар делителей числа -84 ищем ту, сумма которой равна 5. Это числа 12 и -7, так как $12 \cdot (-7) = -84$ и $12 + (-7) = 5$.

Следовательно, разложение на множители имеет вид: $(t - 12)(t - (-7)) = (t - 12)(t + 7)$.

Произведем обратную замену $t = a + b$:

$(a + b - 12)(a + b + 7)$

Ответ: $(a + b - 12)(a + b + 7)$

в) $(m + n)^2 + 3(m + n) + 2$

Введем замену $t = m + n$. Выражение примет вид:

$t^2 + 3t + 2$

Разложим на множители квадратный трехчлен, найдя корни уравнения $t^2 + 3t + 2 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -3$ и $t_1 \cdot t_2 = 2$.

Корни легко подбираются: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.

Следовательно, разложение на множители: $(t - (-1))(t - (-2)) = (t + 1)(t + 2)$.

Выполним обратную замену $t = m + n$:

$(m + n + 1)(m + n + 2)$

Ответ: $(m + n + 1)(m + n + 2)$

г) $(a - 2)^2 + 4(a - 2) - 21$

Пусть $t = a - 2$. Тогда выражение преобразуется к виду:

$t^2 + 4t - 21$

Разложим на множители, найдя корни уравнения $t^2 + 4t - 21 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -4$ и $t_1 \cdot t_2 = -21$.

Подбираем корни: $t_1 = -7$ и $t_2 = 3$.

Разложение на множители: $(t - (-7))(t - 3) = (t + 7)(t - 3)$.

Выполним обратную замену $t = a - 2$:

$((a - 2) + 7)((a - 2) - 3)$

Упростим выражения в скобках:

$(a - 2 + 7)(a - 2 - 3) = (a + 5)(a - 5)$

Ответ: $(a + 5)(a - 5)$

д) $(3 - y)^2 - 2(3 - y) - 35$

Обозначим $t = 3 - y$. Исходное выражение станет:

$t^2 - 2t - 35$

Разложим на множители, решив уравнение $t^2 - 2t - 35 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -35$.

Подбираем корни: $t_1 = 7$ и $t_2 = -5$.

Разложение на множители: $(t - 7)(t - (-5)) = (t - 7)(t + 5)$.

Сделаем обратную замену $t = 3 - y$:

$((3 - y) - 7)((3 - y) + 5)$

Упростим выражения в скобках:

$(3 - y - 7)(3 - y + 5) = (-y - 4)(8 - y)$

Для более стандартной записи вынесем $-1$ из каждой скобки: $(-1)(y + 4) \cdot (-1)(8 - y) = (y + 4)(y - 8)$.

Ответ: $(y + 4)(y - 8)$

е) $(1 - x)^2 - 6(1 - x) + 8$

Пусть $t = 1 - x$. Получим выражение:

$t^2 - 6t + 8$

Разложим на множители, найдя корни уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 6$ и $t_1 \cdot t_2 = 8$.

Корни легко находятся: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Разложение имеет вид: $(t - 2)(t - 4)$.

Выполним обратную замену $t = 1 - x$:

$((1 - x) - 2)((1 - x) - 4)$

Упростим выражения в скобках:

$(1 - x - 2)(1 - x - 4) = (-x - 1)(-x - 3)$

Вынесем $-1$ из каждой скобки: $(-1)(x + 1) \cdot (-1)(x + 3) = (x + 1)(x + 3)$.

Ответ: $(x + 1)(x + 3)$

548 а) $m^2 - 11mn + 28n^2$;

б) $a^2 - 16ab - 36b^2$;

в) $x^2 + 21xy + 20y^2;$

г) $b^2 + 6bc - 55c^2;$

д) $n^2 + 14an + 24a^2;$

е) $a^2 - 9ac - 36c^2.$

Подсказка. а) Решите уравнение $m^2 - 11mn + 28n^2 = 0$ относительно m; сделайте это устно, пользуясь формулами Виета.

а) $m^2 - 11mn + 28n^2$

Для разложения данного многочлена на множители, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно переменной $m$. Приравняем его к нулю и решим полученное уравнение: $m^2 - (11n)m + (28n^2) = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $m_1 + m_2$ должна быть равна коэффициенту при $m$ с противоположным знаком, то есть $11n$. Произведение корней $m_1 \cdot m_2$ должно быть равно свободному члену, то есть $28n^2$.

Подберем два выражения, сумма которых равна $11n$, а произведение $28n^2$. Такими выражениями являются $4n$ и $7n$, так как $4n + 7n = 11n$ и $4n \cdot 7n = 28n^2$.

Следовательно, корни уравнения: $m_1 = 4n$ и $m_2 = 7n$.

Теперь воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$:

$m^2 - 11mn + 28n^2 = (m - 4n)(m - 7n)$.

Ответ: $(m - 4n)(m - 7n)$.

б) $a^2 - 16ab - 36b^2$

Рассмотрим данный многочлен как квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Решим уравнение $a^2 - (16b)a - (36b^2) = 0$.

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $A=1$, $B=-16b$, $C=-36b^2$.

$D = B^2 - 4AC = (-16b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36b^2) = 256b^2 + 144b^2 = 400b^2 = (20b)^2$.

Найдем корни $a_1$ и $a_2$:

$a_1 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{16b + 20b}{2} = \frac{36b}{2} = 18b$.

$a_2 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{16b - 20b}{2} = \frac{-4b}{2} = -2b$.

Следовательно, разложение на множители:

$a^2 - 16ab - 36b^2 = (a - 18b)(a - (-2b)) = (a - 18b)(a + 2b)$.

Ответ: $(a - 18b)(a + 2b)$.

в) $x^2 + 21xy + 20y^2$

Рассмотрим данный многочлен как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. Решим уравнение $x^2 + (21y)x + (20y^2) = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -21y$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 20y^2$.

Подберем корни. Выражения, сумма которых равна $-21y$, а произведение $20y^2$, это $-y$ и $-20y$.

Следовательно, корни уравнения: $x_1 = -y$ и $x_2 = -20y$.

Разложение на множители:

$x^2 + 21xy + 20y^2 = (x - (-y))(x - (-20y)) = (x + y)(x + 20y)$.

Ответ: $(x + y)(x + 20y)$.

г) $b^2 + 6bc - 55c^2$

Рассмотрим данный многочлен как квадратный трехчлен относительно переменной $b$. Решим уравнение $b^2 + (6c)b - (55c^2) = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $b_1 + b_2 = -6c$, а произведение $b_1 \cdot b_2 = -55c^2$.

Подберем корни. Выражения, сумма которых равна $-6c$, а произведение $-55c^2$, это $5c$ и $-11c$.

Следовательно, корни уравнения: $b_1 = 5c$ и $b_2 = -11c$.

Разложение на множители:

$b^2 + 6bc - 55c^2 = (b - 5c)(b - (-11c)) = (b - 5c)(b + 11c)$.

Ответ: $(b + 11c)(b - 5c)$.

д) $n^2 + 14an + 24a^2$

Рассмотрим данный многочлен как квадратный трехчлен относительно переменной $n$. Решим уравнение $n^2 + (14a)n + (24a^2) = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $n_1 + n_2 = -14a$, а произведение $n_1 \cdot n_2 = 24a^2$.

Подберем корни. Выражения, сумма которых равна $-14a$, а произведение $24a^2$, это $-2a$ и $-12a$.

Следовательно, корни уравнения: $n_1 = -2a$ и $n_2 = -12a$.

Разложение на множители:

$n^2 + 14an + 24a^2 = (n - (-2a))(n - (-12a)) = (n + 2a)(n + 12a)$.

Ответ: $(n + 2a)(n + 12a)$.

е) $a^2 - 9ac - 36c^2$

Рассмотрим данный многочлен как квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Решим уравнение $a^2 - (9c)a - (36c^2) = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $a_1 + a_2 = 9c$, а произведение $a_1 \cdot a_2 = -36c^2$.

Подберем корни. Выражения, сумма которых равна $9c$, а произведение $-36c^2$, это $12c$ и $-3c$.

Следовательно, корни уравнения: $a_1 = 12c$ и $a_2 = -3c$.

Разложение на множители:

$a^2 - 9ac - 36c^2 = (a - 12c)(a - (-3c)) = (a - 12c)(a + 3c)$.

Ответ: $(a - 12c)(a + 3c)$.