Номер 545, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 545, страница 157.

Условие.

АНАЛИЗИРУЕМ (545–548) Разложите на множители:

545 a) $x^2(x-5) - x(x-5) - 42(x-5);$

б) $y^2(y+3) + 9y(y+3) + 20(y+3);$

в) $2v^2(1-v^2) - 5v(1-v^2) - 3(1-v^2);$

г) $3a^2(a^2-4) + 2a(a^2-4) - a^2+4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^2(x - 5) - x(x - 5) - 42(x - 5)$

В данном выражении есть общий множитель $(x - 5)$, который можно вынести за скобки:

$(x - 5)(x^2 - x - 42)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - x - 42$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 42 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-42$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -6$.

Следовательно, квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

$x^2 - x - 42 = (x - x_1)(x - x_2) = (x - 7)(x - (-6)) = (x - 7)(x + 6)$

Подставим полученное разложение в исходное выражение:

$(x - 5)(x - 7)(x + 6)$

Ответ: $(x - 5)(x - 7)(x + 6)$

б) $y^2(y + 3) + 9y(y + 3) + 20(y + 3)$

Вынесем общий множитель $(y + 3)$ за скобки:

$(y + 3)(y^2 + 9y + 20)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $y^2 + 9y + 20$. Найдем корни уравнения $y^2 + 9y + 20 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а их произведение равно $20$. Корни равны $y_1 = -4$ и $y_2 = -5$.

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$y^2 + 9y + 20 = (y - (-4))(y - (-5)) = (y + 4)(y + 5)$

Итоговое выражение:

$(y + 3)(y + 4)(y + 5)$

Ответ: $(y + 3)(y + 4)(y + 5)$

в) $2v^2(1 - v^2) - 5v(1 - v^2) - 3(1 - v^2)$

Вынесем общий множитель $(1 - v^2)$ за скобки:

$(1 - v^2)(2v^2 - 5v - 3)$

Первый множитель $(1 - v^2)$ является разностью квадратов и раскладывается как $(1 - v)(1 + v)$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $2v^2 - 5v - 3$. Для этого решим уравнение $2v^2 - 5v - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Найдем корни:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{4} = 3$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Разложим трехчлен по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$2v^2 - 5v - 3 = 2(v - 3)(v + \frac{1}{2}) = (v - 3)(2v + 1)$

Объединим все множители:

$(1 - v)(1 + v)(v - 3)(2v + 1)$

Ответ: $(1 - v)(1 + v)(v - 3)(2v + 1)$

г) $3a^2(a^2 - 4) + 2a(a^2 - 4) - a^2 + 4$

Сгруппируем последние два члена: $-a^2 + 4 = -(a^2 - 4)$.

Выражение примет вид: $3a^2(a^2 - 4) + 2a(a^2 - 4) - 1(a^2 - 4)$.

Вынесем общий множитель $(a^2 - 4)$ за скобки:

$(a^2 - 4)(3a^2 + 2a - 1)$

Первый множитель $(a^2 - 4)$ — это разность квадратов: $(a - 2)(a + 2)$.

Теперь разложим на множители трехчлен $3a^2 + 2a - 1$, решив уравнение $3a^2 + 2a - 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$a_2 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Разложим трехчлен на множители:

$3a^2 + 2a - 1 = 3(a - \frac{1}{3})(a - (-1)) = (3a - 1)(a + 1)$

Соберем все множители вместе:

$(a - 2)(a + 2)(a + 1)(3a - 1)$

Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a + 1)(3a - 1)$