Номер 543, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 543, страница 156.

Условие.

543 Найдите значение $k$, при котором:

а) разложение на множители трёхчлена $2x^2 + 5x + k$ содержит множитель $(x + 3);

б) разложение на множители трёхчлена $3x^2 - 8x + k$ содержит множитель $(x - 2);

в) разложение на множители трёхчлена $-4x^2 + kx + 1$ содержит множитель $(x - 1);

г) разложение на множители трёхчлена $2x^2 - 5x + k$ содержит множитель $(2x + 3);

д) разложение на множители трёхчлена $4x^2 - 8x + k$ содержит множитель $(2x - 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Если разложение на множители трёхчлена $2x^2 + 5x + k$ содержит множитель $(x + 3)$, это означает, что $x = -3$ является корнем этого трёхчлена. Согласно следствию из теоремы Безу, если многочлен имеет корень $a$, то он делится на $(x - a)$. В нашем случае корень множителя $(x+3)$ равен $-3$.

Подставим значение $x = -3$ в выражение трёхчлена и приравняем его к нулю, чтобы найти $k$:

$2(-3)^2 + 5(-3) + k = 0$

$2 \cdot 9 - 15 + k = 0$

$18 - 15 + k = 0$

$3 + k = 0$

$k = -3$

Ответ: $k = -3$.

б)

Если разложение на множители трёхчлена $3x^2 - 8x + k$ содержит множитель $(x - 2)$, это означает, что $x = 2$ является корнем этого трёхчлена.

Подставим значение $x = 2$ в выражение и приравняем его к нулю:

$3(2)^2 - 8(2) + k = 0$

$3 \cdot 4 - 16 + k = 0$

$12 - 16 + k = 0$

$-4 + k = 0$

$k = 4$

Ответ: $k = 4$.

в)

Если разложение на множители трёхчлена $-4x^2 + kx + 1$ содержит множитель $(x - 1)$, это означает, что $x = 1$ является корнем этого трёхчлена.

Подставим значение $x = 1$ в выражение и приравняем его к нулю:

$-4(1)^2 + k(1) + 1 = 0$

$-4 + k + 1 = 0$

$-3 + k = 0$

$k = 3$

Ответ: $k = 3$.

г)

Если разложение на множители трёхчлена $2x^2 - 5x + k$ содержит множитель $(2x + 3)$, это означает, что корень этого множителя является и корнем трёхчлена. Найдём корень множителя:

$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -3/2$.

Подставим значение $x = -3/2$ в выражение трёхчлена и приравняем его к нулю:

$2(-3/2)^2 - 5(-3/2) + k = 0$

$2 \cdot (9/4) + 15/2 + k = 0$

$9/2 + 15/2 + k = 0$

$24/2 + k = 0$

$12 + k = 0$

$k = -12$

Ответ: $k = -12$.

д)

Если разложение на множители трёхчлена $4x^2 - 8x + k$ содержит множитель $(2x - 1)$, то корень этого множителя также является корнем трёхчлена. Найдём корень множителя:

$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = 1/2$.

Подставим значение $x = 1/2$ в выражение трёхчлена и приравняем его к нулю:

$4(1/2)^2 - 8(1/2) + k = 0$

$4 \cdot (1/4) - 4 + k = 0$

$1 - 4 + k = 0$

$-3 + k = 0$

$k = 3$

Ответ: $k = 3$.