Номер 539, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 539, страница 156.

Условие.

539 Разложите на множители:

а) $x^3 + 3x^2 + 2x$;

В) $x^3 - 12x^2 + 32x$;

б) $x^3 - 7x^2 + 10x$;

Г) $x^4 + x^3 - 6x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^3 + 3x^2 + 2x$

Для разложения на множители данного многочлена первым шагом вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^3 + 3x^2 + 2x = x(x^2 + 3x + 2)$
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 2$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $2$. Корнями являются числа $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.
Следовательно, квадратный трехчлен можно представить в виде произведения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 3x + 2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x+1)(x+2)$.
Подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:
$x(x^2 + 3x + 2) = x(x+1)(x+2)$.

Ответ: $x(x+1)(x+2)$

б) $x^3 - 7x^2 + 10x$

Сначала выносим общий множитель $x$ за скобки:
$x^3 - 7x^2 + 10x = x(x^2 - 7x + 10)$
Далее разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 7x + 10$. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а произведение равно $10$. Корнями являются числа $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.
Таким образом, разложение трехчлена имеет вид $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5)$.
Окончательное разложение исходного многочлена:
$x(x^2 - 7x + 10) = x(x-2)(x-5)$.

Ответ: $x(x-2)(x-5)$

в) $x^3 - 12x^2 + 32x$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^3 - 12x^2 + 32x = x(x^2 - 12x + 32)$
Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 12x + 32$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 12x + 32 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $12$, а произведение равно $32$. Корнями являются числа $x_1 = 4$ и $x_2 = 8$.
Представим трехчлен в виде произведения:
$x^2 - 12x + 32 = (x-4)(x-8)$.
Полное разложение исходного выражения:
$x(x^2 - 12x + 32) = x(x-4)(x-8)$.

Ответ: $x(x-4)(x-8)$

г) $x^4 + x^3 - 6x^2$

В данном выражении общий множитель для всех членов — это $x^2$. Вынесем его за скобки:
$x^4 + x^3 - 6x^2 = x^2(x^2 + x - 6)$
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 6$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Корнями являются числа $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Разложение трехчлена на множители:
$x^2 + x - 6 = (x - (-3))(x - 2) = (x+3)(x-2)$.
Окончательный вид разложения:
$x^2(x^2 + x - 6) = x^2(x+3)(x-2)$.

Ответ: $x^2(x+3)(x-2)$