Номер 541, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 541, страница 156.

Условие.

541 Представьте в виде произведения двух линейных множителей с целыми коэффициентами:

а) $6x^2 + 25x + 14$;

б) $18y^2 - 19y - 12$;

в) $-12z^2 - 11z + 15$;

г) $8m^2 - 27m - 20$;

д) $-6a^2 + a + 12$;

е) $24b^2 + 5b - 36$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы представить квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ в виде произведения двух линейных множителей с целыми коэффициентами, мы воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

а) $6x^2 + 25x + 14$

1. Приравняем трехчлен к нулю, чтобы найти его корни: $6x^2 + 25x + 14 = 0$.

2. Вычислим дискриминант ($a=6, b=25, c=14$):

$D = b^2 - 4ac = 25^2 - 4 \cdot 6 \cdot 14 = 625 - 336 = 289$.

3. Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{-25 + 17}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{-25 - 17}{12} = \frac{-42}{12} = -\frac{7}{2}$.

4. Подставим корни в формулу разложения:

$6(x - (-\frac{2}{3}))(x - (-\frac{7}{2})) = 6(x + \frac{2}{3})(x + \frac{7}{2})$.

5. Чтобы избавиться от дробей и получить целые коэффициенты, представим $6$ как $3 \cdot 2$ и внесем каждый множитель в соответствующую скобку:

$(3(x + \frac{2}{3}))(2(x + \frac{7}{2})) = (3x + 2)(2x + 7)$.

Ответ: $(3x + 2)(2x + 7)$.

б) $18y^2 - 19y - 12$

1. Решим уравнение $18y^2 - 19y - 12 = 0$.

2. Дискриминант ($a=18, b=-19, c=-12$):

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-12) = 361 + 864 = 1225$.

3. Корни уравнения:

$y_1 = \frac{19 + \sqrt{1225}}{2 \cdot 18} = \frac{19 + 35}{36} = \frac{54}{36} = \frac{3}{2}$.

$y_2 = \frac{19 - \sqrt{1225}}{2 \cdot 18} = \frac{19 - 35}{36} = \frac{-16}{36} = -\frac{4}{9}$.

4. Разложение на множители:

$18(y - \frac{3}{2})(y - (-\frac{4}{9})) = 18(y - \frac{3}{2})(y + \frac{4}{9})$.

5. Представим $18$ как $2 \cdot 9$ и внесем множители в скобки:

$(2(y - \frac{3}{2}))(9(y + \frac{4}{9})) = (2y - 3)(9y + 4)$.

Ответ: $(2y - 3)(9y + 4)$.

в) $-12z^2 - 11z + 15$

1. Решим уравнение $-12z^2 - 11z + 15 = 0$. Удобнее работать с положительным старшим коэффициентом, умножим уравнение на $-1$: $12z^2 + 11z - 15 = 0$.

2. Дискриминант ($a=12, b=11, c=-15$):

$D = 11^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-15) = 121 + 720 = 841$.

3. Корни уравнения:

$z_1 = \frac{-11 + \sqrt{841}}{2 \cdot 12} = \frac{-11 + 29}{24} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.

$z_2 = \frac{-11 - \sqrt{841}}{2 \cdot 12} = \frac{-11 - 29}{24} = \frac{-40}{24} = -\frac{5}{3}$.

4. Разложение трехчлена $12z^2 + 11z - 15$:

$12(z - \frac{3}{4})(z - (-\frac{5}{3})) = 12(z - \frac{3}{4})(z + \frac{5}{3})$.

5. Внесем множители $4$ и $3$ ($12=4 \cdot 3$) в скобки:

$(4(z - \frac{3}{4}))(3(z + \frac{5}{3})) = (4z - 3)(3z + 5)$.

6. Так как мы раскладывали $12z^2 + 11z - 15$, а исходный трехчлен был $-12z^2 - 11z + 15$, нужно добавить множитель $-1$:

$-(4z - 3)(3z + 5) = (3 - 4z)(3z + 5)$.

Ответ: $(3 - 4z)(3z + 5)$.

г) $8m^2 - 27m - 20$

1. Решим уравнение $8m^2 - 27m - 20 = 0$.

2. Дискриминант ($a=8, b=-27, c=-20$):

$D = (-27)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-20) = 729 + 640 = 1369$.

3. Корни уравнения:

$m_1 = \frac{27 + \sqrt{1369}}{2 \cdot 8} = \frac{27 + 37}{16} = \frac{64}{16} = 4$.

$m_2 = \frac{27 - \sqrt{1369}}{2 \cdot 8} = \frac{27 - 37}{16} = \frac{-10}{16} = -\frac{5}{8}$.

4. Разложение на множители:

$8(m - 4)(m - (-\frac{5}{8})) = 8(m - 4)(m + \frac{5}{8})$.

5. Внесем множитель $8$ во вторую скобку:

$(m - 4)(8(m + \frac{5}{8})) = (m - 4)(8m + 5)$.

Ответ: $(m - 4)(8m + 5)$.

д) $-6a^2 + a + 12$

1. Решим уравнение $-6a^2 + a + 12 = 0$. Умножим на $-1$: $6a^2 - a - 12 = 0$.

2. Дискриминант ($a=6, b=-1, c=-12$):

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289$.

3. Корни уравнения:

$a_1 = \frac{1 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

$a_2 = \frac{1 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 17}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$.

4. Разложение трехчлена $6a^2 - a - 12$:

$6(a - \frac{3}{2})(a - (-\frac{4}{3})) = 6(a - \frac{3}{2})(a + \frac{4}{3})$.

5. Внесем множители $2$ и $3$ ($6=2 \cdot 3$) в скобки:

$(2(a - \frac{3}{2}))(3(a + \frac{4}{3})) = (2a - 3)(3a + 4)$.

6. Учтем, что исходный трехчлен был с отрицательным коэффициентом:

$-(2a - 3)(3a + 4) = (3 - 2a)(3a + 4)$.

Ответ: $(3 - 2a)(3a + 4)$.

е) $24b^2 + 5b - 36$

1. Решим уравнение $24b^2 + 5b - 36 = 0$.

2. Дискриминант ($a=24, b=5, c=-36$):

$D = 5^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-36) = 25 + 3456 = 3481$.

3. Корни уравнения:

$b_1 = \frac{-5 + \sqrt{3481}}{2 \cdot 24} = \frac{-5 + 59}{48} = \frac{54}{48} = \frac{9}{8}$.

$b_2 = \frac{-5 - \sqrt{3481}}{2 \cdot 24} = \frac{-5 - 59}{48} = \frac{-64}{48} = -\frac{4}{3}$.

4. Разложение на множители:

$24(b - \frac{9}{8})(b - (-\frac{4}{3})) = 24(b - \frac{9}{8})(b + \frac{4}{3})$.

5. Представим $24$ как $8 \cdot 3$ и внесем множители в скобки:

$(8(b - \frac{9}{8}))(3(b + \frac{4}{3})) = (8b - 9)(3b + 4)$.

Ответ: $(8b - 9)(3b + 4)$.