Номер 535, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 535, страница 155.

Условие.

535 a) $2x^2 + 3x + 1;$

В) $-4z^2 + 11z + 3;$

Д) $3 - 11m + 6m^2;$

б) $3y^2 + 7y - 6;$

Г) $3a^2 + 7a + 2;$

е) $2 + 9n + 7n^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $2x^2 + 3x + 1$

Для разложения квадратного трехчлена на множители, необходимо найти его корни. Приравняем трехчлен к нулю: $2x^2 + 3x + 1 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=2$, $b=3$, $c=1$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$2x^2 + 3x + 1 = 2(x - (-1))(x - (-\frac{1}{2})) = 2(x+1)(x+\frac{1}{2})$.

Внесем множитель 2 в скобку $(x+\frac{1}{2})$:

$2(x+1)(x+\frac{1}{2}) = (x+1)(2x+1)$.

Ответ: $(x+1)(2x+1)$.

б) $3y^2 + 7y - 6$

Найдем корни уравнения $3y^2 + 7y - 6 = 0$. Здесь $a=3$, $b=7$, $c=-6$.

Дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

$y_2 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Производим разложение: $3(y - (-3))(y - \frac{2}{3}) = 3(y+3)(y-\frac{2}{3})$.

Внесем множитель 3 в скобку $(y-\frac{2}{3})$:

$3(y+3)(y-\frac{2}{3}) = (y+3)(3y-2)$.

Ответ: $(y+3)(3y-2)$.

в) $-4z^2 + 11z + 3$

Найдем корни уравнения $-4z^2 + 11z + 3 = 0$. Здесь $a=-4$, $b=11$, $c=3$.

Дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 3 = 121 + 48 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$z_1 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 \cdot (-4)} = \frac{-11 - 13}{-8} = \frac{-24}{-8} = 3$

$z_2 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot (-4)} = \frac{-11 + 13}{-8} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$

Производим разложение: $-4(z - 3)(z - (-\frac{1}{4})) = -4(z - 3)(z + \frac{1}{4})$.

Внесем множитель -4 в скобку $(z + \frac{1}{4})$:

$-4(z - 3)(z + \frac{1}{4}) = (z-3)(-4z-1) = -(z-3)(4z+1) = (3-z)(4z+1)$.

Ответ: $(3-z)(4z+1)$.

г) $3a^2 + 7a + 2$

Найдем корни уравнения $3a^2 + 7a + 2 = 0$. Здесь $a=3$, $b=7$, $c=2$.

Дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 5}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

$a_2 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 5}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Производим разложение: $3(a - (-2))(a - (-\frac{1}{3})) = 3(a+2)(a+\frac{1}{3})$.

Внесем множитель 3 в скобку $(a+\frac{1}{3})$:

$3(a+2)(a+\frac{1}{3}) = (a+2)(3a+1)$.

Ответ: $(a+2)(3a+1)$.

д) $3 - 11m + 6m^2$

Перепишем трехчлен в стандартном виде: $6m^2 - 11m + 3$.

Найдем корни уравнения $6m^2 - 11m + 3 = 0$. Здесь $a=6$, $b=-11$, $c=3$.

Дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 121 - 72 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$m_1 = \frac{11 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{11 - 7}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$m_2 = \frac{11 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{11 + 7}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Производим разложение: $6(m - \frac{1}{3})(m - \frac{3}{2})$.

Представим 6 как $3 \cdot 2$ и распределим множители по скобкам:

$3(m - \frac{1}{3}) \cdot 2(m - \frac{3}{2}) = (3m - 1)(2m - 3)$.

Ответ: $(3m-1)(2m-3)$.

е) $2 + 9n + 7n^2$

Перепишем трехчлен в стандартном виде: $7n^2 + 9n + 2$.

Найдем корни уравнения $7n^2 + 9n + 2 = 0$. Здесь $a=7$, $b=9$, $c=2$.

Дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения:

$n_1 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 - 5}{14} = \frac{-14}{14} = -1$

$n_2 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 + 5}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$

Производим разложение: $7(n - (-1))(n - (-\frac{2}{7})) = 7(n+1)(n+\frac{2}{7})$.

Внесем множитель 7 в скобку $(n+\frac{2}{7})$:

$7(n+1)(n+\frac{2}{7}) = (n+1)(7n+2)$.

Ответ: $(n+1)(7n+2)$.