Номер 536, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 536, страница 155.

Условие.

536 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

В каком случае верно представлено разложение квадратного трёхчлена $3x^2 - 4x - 4$ на линейные множители?

1) $(x + \frac{2}{3})(x - 2)$

2) $(x - \frac{2}{3})(x - 2)$

3) $3(x + \frac{2}{3})(x - 2)$

4) $3(x - \frac{2}{3})(x - 2)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на линейные множители, используется формула: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
В нашем случае дан трёхчлен $3x^2 - 4x - 4$. Для него коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -4$, $c = -4$.

Сначала найдем корни уравнения $3x^2 - 4x - 4 = 0$. Для этого вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Теперь подставим найденные корни $x_1 = 2$, $x_2 = -\frac{2}{3}$ и старший коэффициент $a = 3$ в формулу разложения:
$a(x - x_1)(x - x_2) = 3(x - 2)(x - (-\frac{2}{3})) = 3(x - 2)(x + \frac{2}{3})$

Записав сомножители в другом порядке, получим $3(x + \frac{2}{3})(x - 2)$.
Сравнивая это выражение с предложенными вариантами, видим, что оно соответствует варианту под номером 3.

Для проверки можно выполнить обратное действие — раскрыть скобки в ответе 3:
$3(x + \frac{2}{3})(x - 2) = 3(x^2 - 2x + \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}) = 3(x^2 - \frac{6}{3}x + \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}) = 3(x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{4}{3}) = 3x^2 - 4x - 4$
Полученное выражение совпадает с исходным трёхчленом, что подтверждает правильность выбора.

Ответ: 3