Номер 540, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 540, страница 156.

Условие.

540 Составьте какое-нибудь уравнение, имеющее корни:

a) $2$; $-8$;

б) $0$; $-1$; $5$;

в) $0$; $10$; $12$;

г) $1$; $2$; $-2$;

д) $1$; $2$; $-3$;

е) $0$; $1$; $2$; $3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Основной принцип для решения этой задачи заключается в том, что если уравнение имеет корни $x_1, x_2, \ldots, x_n$, то его можно представить в виде произведения, равного нулю: $(x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_n) = 0$. Затем, раскрыв скобки, мы получим уравнение в виде многочлена.

а) Даны корни $2$ и $-8$.

Составим уравнение, используя множители $(x - 2)$ и $(x - (-8))$:

$(x - 2)(x - (-8)) = 0$

Упростим второй множитель:

$(x - 2)(x + 8) = 0$

Теперь раскроем скобки, перемножив многочлены:

$x^2 + 8x - 2x - 16 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 6x - 16 = 0$

Ответ: $x^2 + 6x - 16 = 0$.

б) Даны корни $0$, $-1$ и $5$.

Составим уравнение с тремя множителями:

$(x - 0)(x - (-1))(x - 5) = 0$

Упростим выражение:

$x(x + 1)(x - 5) = 0$

Раскроем скобки. Сначала перемножим $(x + 1)$ и $(x - 5)$:

$x(x^2 - 5x + x - 5) = 0$

$x(x^2 - 4x - 5) = 0$

Теперь умножим полученный многочлен на $x$:

$x^3 - 4x^2 - 5x = 0$

Ответ: $x^3 - 4x^2 - 5x = 0$.

в) Даны корни $0$, $10$ и $12$.

Составим уравнение с тремя множителями:

$(x - 0)(x - 10)(x - 12) = 0$

Упростим выражение:

$x(x - 10)(x - 12) = 0$

Раскроем скобки. Сначала перемножим $(x - 10)$ и $(x - 12)$:

$x(x^2 - 12x - 10x + 120) = 0$

$x(x^2 - 22x + 120) = 0$

Теперь умножим полученный многочлен на $x$:

$x^3 - 22x^2 + 120x = 0$

Ответ: $x^3 - 22x^2 + 120x = 0$.

г) Даны корни $1$, $2$ и $-2$.

Составим уравнение с тремя множителями:

$(x - 1)(x - 2)(x - (-2)) = 0$

Упростим выражение:

$(x - 1)(x - 2)(x + 2) = 0$

Заметим, что $(x - 2)(x + 2)$ является формулой разности квадратов: $x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

$(x - 1)(x^2 - 4) = 0$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$x \cdot x^2 + x \cdot (-4) - 1 \cdot x^2 - 1 \cdot (-4) = 0$

$x^3 - 4x - x^2 + 4 = 0$

Запишем многочлен в стандартном виде:

$x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0$

Ответ: $x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0$.

д) Даны корни $1$, $2$ и $-3$.

Составим уравнение с тремя множителями:

$(x - 1)(x - 2)(x - (-3)) = 0$

Упростим выражение:

$(x - 1)(x - 2)(x + 3) = 0$

Раскроем скобки. Сначала перемножим $(x - 1)$ и $(x - 2)$:

$(x^2 - 2x - x + 2)(x + 3) = 0$

$(x^2 - 3x + 2)(x + 3) = 0$

Теперь умножим полученный многочлен на $(x+3)$:

$x^2(x+3) - 3x(x+3) + 2(x+3) = 0$

$(x^3 + 3x^2) - (3x^2 + 9x) + (2x + 6) = 0$

$x^3 + 3x^2 - 3x^2 - 9x + 2x + 6 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 - 7x + 6 = 0$

Ответ: $x^3 - 7x + 6 = 0$.

е) Даны корни $0$, $1$, $2$ и $3$.

Составим уравнение с четырьмя множителями:

$(x - 0)(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$

Упростим выражение:

$x(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$

Раскроем скобки, сгруппировав множители для удобства: $[x(x - 1)][(x - 2)(x - 3)] = 0$.

Перемножим в каждой группе:

$(x^2 - x)(x^2 - 3x - 2x + 6) = 0$

$(x^2 - x)(x^2 - 5x + 6) = 0$

Теперь перемножим полученные многочлены:

$x^2(x^2 - 5x + 6) - x(x^2 - 5x + 6) = 0$

$(x^4 - 5x^3 + 6x^2) - (x^3 - 5x^2 + 6x) = 0$

$x^4 - 5x^3 + 6x^2 - x^3 + 5x^2 - 6x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x = 0$

Ответ: $x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x = 0$.