Номер 542, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 542, страница 156.

Условие.

РАССУЖДАЕМ (542–543)

542 Найдите все целые значения $m$, при которых квадратный трёхчлен можно разложить на линейные двучлены с целыми коэффициентами:

а) $c^2 + mc + 10;$

б) $z^2 + mz + 3;$

в) $x^2 + mx - 21;$

г) $y^2 + my - 12.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы квадратный трехчлен вида $t^2 + mt + k$ можно было разложить на линейные двучлены с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы его можно было представить в виде $(t+p)(t+q)$, где $p$ и $q$ — целые числа.

Раскрыв скобки, получаем: $(t+p)(t+q) = t^2 + (p+q)t + pq$.

Сравнивая это выражение с исходным трехчленом, получаем систему уравнений:

$p+q = m$

$pq = k$

Таким образом, задача сводится к нахождению всех пар целых чисел $p$ и $q$, произведение которых равно свободному члену трехчлена ($k$), и вычислению их суммы, которая и будет являться искомым значением $m$.

а) Рассмотрим трехчлен $c^2 + mc + 10$.

Здесь свободный член $k=10$. Нам нужно найти все пары целых чисел $(p, q)$, для которых $pq = 10$. Такими парами являются:

1. $p=1, q=10$. Тогда $m = p+q = 1+10=11$.

2. $p=-1, q=-10$. Тогда $m = p+q = -1+(-10)=-11$.

3. $p=2, q=5$. Тогда $m = p+q = 2+5=7$.

4. $p=-2, q=-5$. Тогда $m = p+q = -2+(-5)=-7$.

Возможные значения $m$: $11, -11, 7, -7$.

Ответ: $m \in \{-11, -7, 7, 11\}$.

б) Рассмотрим трехчлен $z^2 + mz + 3$.

Здесь свободный член $k=3$. Пары целых чисел $(p, q)$, для которых $pq = 3$:

1. $p=1, q=3$. Тогда $m = p+q = 1+3=4$.

2. $p=-1, q=-3$. Тогда $m = p+q = -1+(-3)=-4$.

Возможные значения $m$: $4, -4$.

Ответ: $m \in \{-4, 4\}$.

в) Рассмотрим трехчлен $x^2 + mx - 21$.

Здесь свободный член $k=-21$. Пары целых чисел $(p, q)$, для которых $pq = -21$:

1. $p=1, q=-21$. Тогда $m = p+q = 1+(-21)=-20$.

2. $p=-1, q=21$. Тогда $m = p+q = -1+21=20$.

3. $p=3, q=-7$. Тогда $m = p+q = 3+(-7)=-4$.

4. $p=-3, q=7$. Тогда $m = p+q = -3+7=4$.

Возможные значения $m$: $-20, 20, -4, 4$.

Ответ: $m \in \{-20, -4, 4, 20\}$.

г) Рассмотрим трехчлен $y^2 + my - 12$.

Здесь свободный член $k=-12$. Пары целых чисел $(p, q)$, для которых $pq = -12$:

1. $p=1, q=-12$. Тогда $m = p+q = 1+(-12)=-11$.

2. $p=-1, q=12$. Тогда $m = p+q = -1+12=11$.

3. $p=2, q=-6$. Тогда $m = p+q = 2+(-6)=-4$.

4. $p=-2, q=6$. Тогда $m = p+q = -2+6=4$.

5. $p=3, q=-4$. Тогда $m = p+q = 3+(-4)=-1$.

6. $p=-3, q=4$. Тогда $m = p+q = -3+4=1$.

Возможные значения $m$: $-11, 11, -4, 4, -1, 1$.

Ответ: $m \in \{-11, -4, -1, 1, 4, 11\}$.