Номер 549, страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 549, страница 160.

Условие.

549 Найдите корни квадратного уравнения, не пользуясь формулой корней:

а) $2x^2 - 3x + 1 = 0;$

б) $4x^2 + 7x + 3 = 0;$

в) $3x^2 - 10x - 8 = 0;$

г) $3x^2 + 5x - 2 = 0.$

Указание. Сначала найдите целый корень уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данных квадратных уравнений воспользуемся указанием: сначала найдем один целый корень, а затем, используя теорему Виета, найдем второй корень.

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы формулы Виета:
$x_1 + x_2 = -b/a$
$x_1 \cdot x_2 = c/a$

Если у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с целыми коэффициентами есть целый корень, то он является делителем свободного члена $c$. Будем искать целый корень среди делителей свободного члена.

а) $2x^2 - 3x + 1 = 0$

В этом уравнении $a=2, b=-3, c=1$.
Сначала найдем целый корень. Возможные целые корни – это делители свободного члена $c=1$. Делители: $1$ и $-1$.
Проверим $x=1$:
$2 \cdot (1)^2 - 3 \cdot 1 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$.
Равенство верно, значит $x_1 = 1$ является корнем уравнения.
Теперь найдем второй корень $x_2$ по теореме Виета, используя формулу $x_1 \cdot x_2 = c/a$.
$1 \cdot x_2 = 1/2$
$x_2 = 1/2$.
Корни уравнения: $1$ и $1/2$.
Ответ: $1; 1/2$.

б) $4x^2 + 7x + 3 = 0$

В этом уравнении $a=4, b=7, c=3$.
Ищем целый корень среди делителей свободного члена $c=3$. Делители: $\pm 1, \pm 3$.
Проверим $x=-1$:
$4(-1)^2 + 7(-1) + 3 = 4 - 7 + 3 = 0$.
Равенство верно, значит $x_1 = -1$ является корнем уравнения.
Найдем второй корень $x_2$ по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = c/a$.
$(-1) \cdot x_2 = 3/4$
$x_2 = -3/4$.
Корни уравнения: $-1$ и $-3/4$.
Ответ: $-1; -3/4$.

в) $3x^2 - 10x - 8 = 0$

В этом уравнении $a=3, b=-10, c=-8$.
Ищем целый корень среди делителей свободного члена $c=-8$. Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.
Проверим $x=4$:
$3(4)^2 - 10(4) - 8 = 3 \cdot 16 - 40 - 8 = 48 - 40 - 8 = 0$.
Равенство верно, значит $x_1 = 4$ является корнем уравнения.
Найдем второй корень $x_2$ по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = c/a$.
$4 \cdot x_2 = -8/3$
$x_2 = \frac{-8/3}{4} = -\frac{8}{3 \cdot 4} = -2/3$.
Корни уравнения: $4$ и $-2/3$.
Ответ: $4; -2/3$.

г) $3x^2 + 5x - 2 = 0$

В этом уравнении $a=3, b=5, c=-2$.
Ищем целый корень среди делителей свободного члена $c=-2$. Делители: $\pm 1, \pm 2$.
Проверим $x=-2$:
$3(-2)^2 + 5(-2) - 2 = 3 \cdot 4 - 10 - 2 = 12 - 10 - 2 = 0$.
Равенство верно, значит $x_1 = -2$ является корнем уравнения.
Найдем второй корень $x_2$ по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = c/a$.
$(-2) \cdot x_2 = -2/3$
$x_2 = \frac{-2/3}{-2} = 1/3$.
Корни уравнения: $-2$ и $1/3$.
Ответ: $-2; 1/3$.