Номер 548, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 548, страница 157.

Условие.

548 а) $m^2 - 11mn + 28n^2$;

б) $a^2 - 16ab - 36b^2$;

в) $x^2 + 21xy + 20y^2;$

г) $b^2 + 6bc - 55c^2;$

д) $n^2 + 14an + 24a^2;$

е) $a^2 - 9ac - 36c^2.$

Подсказка. а) Решите уравнение $m^2 - 11mn + 28n^2 = 0$ относительно m; сделайте это устно, пользуясь формулами Виета.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $m^2 - 11mn + 28n^2$

Для разложения данного многочлена на множители, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно переменной $m$. Приравняем его к нулю и решим полученное уравнение: $m^2 - (11n)m + (28n^2) = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $m_1 + m_2$ должна быть равна коэффициенту при $m$ с противоположным знаком, то есть $11n$. Произведение корней $m_1 \cdot m_2$ должно быть равно свободному члену, то есть $28n^2$.

Подберем два выражения, сумма которых равна $11n$, а произведение $28n^2$. Такими выражениями являются $4n$ и $7n$, так как $4n + 7n = 11n$ и $4n \cdot 7n = 28n^2$.

Следовательно, корни уравнения: $m_1 = 4n$ и $m_2 = 7n$.

Теперь воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$:

$m^2 - 11mn + 28n^2 = (m - 4n)(m - 7n)$.

Ответ: $(m - 4n)(m - 7n)$.

б) $a^2 - 16ab - 36b^2$

Рассмотрим данный многочлен как квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Решим уравнение $a^2 - (16b)a - (36b^2) = 0$.

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $A=1$, $B=-16b$, $C=-36b^2$.

$D = B^2 - 4AC = (-16b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36b^2) = 256b^2 + 144b^2 = 400b^2 = (20b)^2$.

Найдем корни $a_1$ и $a_2$:

$a_1 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{16b + 20b}{2} = \frac{36b}{2} = 18b$.

$a_2 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{16b - 20b}{2} = \frac{-4b}{2} = -2b$.

Следовательно, разложение на множители:

$a^2 - 16ab - 36b^2 = (a - 18b)(a - (-2b)) = (a - 18b)(a + 2b)$.

Ответ: $(a - 18b)(a + 2b)$.

в) $x^2 + 21xy + 20y^2$

Рассмотрим данный многочлен как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. Решим уравнение $x^2 + (21y)x + (20y^2) = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -21y$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 20y^2$.

Подберем корни. Выражения, сумма которых равна $-21y$, а произведение $20y^2$, это $-y$ и $-20y$.

Следовательно, корни уравнения: $x_1 = -y$ и $x_2 = -20y$.

Разложение на множители:

$x^2 + 21xy + 20y^2 = (x - (-y))(x - (-20y)) = (x + y)(x + 20y)$.

Ответ: $(x + y)(x + 20y)$.

г) $b^2 + 6bc - 55c^2$

Рассмотрим данный многочлен как квадратный трехчлен относительно переменной $b$. Решим уравнение $b^2 + (6c)b - (55c^2) = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $b_1 + b_2 = -6c$, а произведение $b_1 \cdot b_2 = -55c^2$.

Подберем корни. Выражения, сумма которых равна $-6c$, а произведение $-55c^2$, это $5c$ и $-11c$.

Следовательно, корни уравнения: $b_1 = 5c$ и $b_2 = -11c$.

Разложение на множители:

$b^2 + 6bc - 55c^2 = (b - 5c)(b - (-11c)) = (b - 5c)(b + 11c)$.

Ответ: $(b + 11c)(b - 5c)$.

д) $n^2 + 14an + 24a^2$

Рассмотрим данный многочлен как квадратный трехчлен относительно переменной $n$. Решим уравнение $n^2 + (14a)n + (24a^2) = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $n_1 + n_2 = -14a$, а произведение $n_1 \cdot n_2 = 24a^2$.

Подберем корни. Выражения, сумма которых равна $-14a$, а произведение $24a^2$, это $-2a$ и $-12a$.

Следовательно, корни уравнения: $n_1 = -2a$ и $n_2 = -12a$.

Разложение на множители:

$n^2 + 14an + 24a^2 = (n - (-2a))(n - (-12a)) = (n + 2a)(n + 12a)$.

Ответ: $(n + 2a)(n + 12a)$.

е) $a^2 - 9ac - 36c^2$

Рассмотрим данный многочлен как квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Решим уравнение $a^2 - (9c)a - (36c^2) = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $a_1 + a_2 = 9c$, а произведение $a_1 \cdot a_2 = -36c^2$.

Подберем корни. Выражения, сумма которых равна $9c$, а произведение $-36c^2$, это $12c$ и $-3c$.

Следовательно, корни уравнения: $a_1 = 12c$ и $a_2 = -3c$.

Разложение на множители:

$a^2 - 9ac - 36c^2 = (a - 12c)(a - (-3c)) = (a - 12c)(a + 3c)$.

Ответ: $(a - 12c)(a + 3c)$.