Номер 554, страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 554, страница 160.

Условие.

Решите уравнение (554—557).

554 a) $(x+1)^2 - 2(x+1) + 1 = 0;$

б) $(x-2)^2 - 4(x-2) - 5 = 0;$

В) $(1-x)^2 + 6(1-x) + 8 = 0;$

Г) $(3-x)^2 + (3-x) - 6 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Данное уравнение $(x+1)^2-2(x+1)+1=0$ удобно решать методом введения новой переменной. Пусть $t = x+1$.

Подставив $t$ в уравнение, получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2-2t+1=0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$(t-1)^2=0$

Это уравнение имеет единственный корень $t-1=0$, то есть $t=1$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$x+1 = 1$

$x = 1 - 1$

$x = 0$

Ответ: $0$.

б)

Для решения уравнения $(x-2)^2-4(x-2)-5=0$ введем замену. Пусть $t = x-2$.

Уравнение примет вид:

$t^2-4t-5=0$

Это приведенное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2-4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$t_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{4+\sqrt{36}}{2} = \frac{4+6}{2} = 5$

$t_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{4-\sqrt{36}}{2} = \frac{4-6}{2} = -1$

Теперь сделаем обратную замену для каждого найденного корня $t$:

1) Если $t=5$, то $x-2 = 5$, откуда $x = 5+2$, то есть $x = 7$.

2) Если $t=-1$, то $x-2 = -1$, откуда $x = -1+2$, то есть $x = 1$.

Ответ: $1; 7$.

в)

В уравнении $(1-x)^2+6(1-x)+8=0$ произведем замену переменной. Пусть $t = 1-x$.

Получим следующее квадратное уравнение:

$t^2+6t+8=0$

Решим его, используя теорему Виета. Сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $8$.

$t_1 + t_2 = -6$

$t_1 \cdot t_2 = 8$

Подбором находим корни: $t_1 = -2$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t=-2$, то $1-x = -2$. Отсюда $-x = -2-1$, то есть $-x=-3$ и $x=3$.

2) Если $t=-4$, то $1-x = -4$. Отсюда $-x = -4-1$, то есть $-x=-5$ и $x=5$.

Ответ: $3; 5$.

г)

Решим уравнение $(3-x)^2+(3-x)-6=0$ методом замены переменной. Пусть $t = 3-x$.

Уравнение преобразуется в:

$t^2+t-6=0$

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант.

$D = b^2-4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-1+\sqrt{25}}{2} = \frac{-1+5}{2} = 2$

$t_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-1-\sqrt{25}}{2} = \frac{-1-5}{2} = -3$

Проведем обратную замену для каждого значения $t$:

1) При $t=2$ имеем $3-x = 2$. Тогда $-x = 2-3$, то есть $-x=-1$ и $x=1$.

2) При $t=-3$ имеем $3-x = -3$. Тогда $-x = -3-3$, то есть $-x=-6$ и $x=6$.

Ответ: $1; 6$.