Номер 560, страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 560, страница 161.

Условие.

560 В Третьяковской галерее висит картина художника Богданова-Бельского «Устный счёт». На классной доске записано выражение

$\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365}$.

В числителе — сумма квадратов пяти последовательных целых чисел.

Ученики могут найти значение этого выражения устно, если они заметят, что сумма квадратов первых трёх из них равна сумме квадратов последних двух (проверьте!)

Существуют ли ещё пять последовательных целых чисел, которые обладают таким же свойством?

Подсказка. Вычисления будут проще, если при составлении уравнения буквой обозначить второе число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы ответить на вопрос, существуют ли ещё наборы из пяти последовательных целых чисел с указанным свойством, нужно составить и решить обобщенное уравнение. Свойство заключается в том, что сумма квадратов первых трёх чисел в последовательности равна сумме квадратов последних двух.

Воспользуемся подсказкой и обозначим второе число в последовательности переменной $n$. Тогда пять последовательных целых чисел можно представить в виде: $n-1, n, n+1, n+2, n+3$.

Теперь запишем свойство в виде математического уравнения:
$(n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2 + (n+3)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности, и упростим обе части уравнения.
Левая часть:
$(n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 3n^2 - 2n + 2n + 1 + 1 = 3n^2 + 2$
Правая часть:
$(n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 6n + 9) = 2n^2 + 4n + 6n + 4 + 9 = 2n^2 + 10n + 13$

Приравняем левую и правую части:
$3n^2 + 2 = 2n^2 + 10n + 13$

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$3n^2 - 2n^2 - 10n + 2 - 13 = 0$
$n^2 - 10n - 11 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
По теореме Виета, сумма корней равна $10$, а их произведение равно $-11$. Этим условиям удовлетворяют числа $11$ и $-1$.
Проверим через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144 = 12^2$
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = 11$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 12}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Мы получили два возможных значения для второго числа в последовательности, а значит, существует всего два набора чисел, удовлетворяющих заданному свойству.

Первый набор (при $n = 11$):
Последовательность: $10, 11, 12, 13, 14$. Это набор, упомянутый в условии задачи.
Проверка: $10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365$. Сумма квадратов последних двух: $13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$. Свойство выполняется ($365=365$).

Второй набор (при $n = -1$):
Последовательность: $-2, -1, 0, 1, 2$. Это и есть искомый второй набор.
Проверка: $(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 4 + 1 + 0 = 5$. Сумма квадратов последних двух: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. Свойство также выполняется ($5=5$).

Таким образом, кроме набора чисел из условия задачи, существует ещё один набор из пяти последовательных целых чисел, обладающий тем же свойством.

Ответ: Да, существует. Это последовательность чисел: $-2, -1, 0, 1, 2$.