Номер 565, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 565, страница 162.

Условие.

565 Напишите два каких-нибудь квадратных трёхчлена, имеющие одни и те же корни, равные:

a) -4 и 5;

б) -2 и $\frac{1}{3}$;

в) $1\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Квадратный трёхчлен, имеющий корни $x_1$ и $x_2$, можно представить в виде произведения $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a$ — произвольный коэффициент, не равный нулю. Чтобы составить два разных квадратных трёхчлена с одинаковыми корнями, достаточно выбрать два различных значения для коэффициента $a$.

а) Корни равны -4 и 5.

Общий вид трёхчлена с корнями $x_1 = -4$ и $x_2 = 5$ записывается как $a(x - (-4))(x - 5) = a(x + 4)(x - 5)$.

1. Выберем коэффициент $a = 1$.
Трёхчлен будет иметь вид: $1 \cdot (x + 4)(x - 5) = x^2 - 5x + 4x - 20 = x^2 - x - 20$.

2. Выберем другой коэффициент, например, $a = 2$.
Трёхчлен будет иметь вид: $2 \cdot (x + 4)(x - 5) = 2(x^2 - x - 20) = 2x^2 - 2x - 40$.

Ответ: $x^2 - x - 20$ и $2x^2 - 2x - 40$.

б) Корни равны -2 и $-\frac{1}{3}$.

Общий вид трёхчлена с корнями $x_1 = -2$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$ записывается как $a(x - (-2))(x - (-\frac{1}{3})) = a(x + 2)(x + \frac{1}{3})$.

1. Для удобства и получения целых коэффициентов выберем $a$ равным знаменателю дроби, то есть $a = 3$.
Трёхчлен будет иметь вид: $3(x + 2)(x + \frac{1}{3}) = (x + 2)(3x + 1) = 3x^2 + x + 6x + 2 = 3x^2 + 7x + 2$.

2. Выберем другой коэффициент, например, умножим полученный трёхчлен на 2 (что эквивалентно выбору $a = 6$).
Трёхчлен будет иметь вид: $2(3x^2 + 7x + 2) = 6x^2 + 14x + 4$.

Ответ: $3x^2 + 7x + 2$ и $6x^2 + 14x + 4$.

в) Корни равны $1\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$.

Переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Корни: $x_1 = \frac{3}{2}$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.
Общий вид трёхчлена: $a(x - \frac{3}{2})(x - \frac{2}{3})$.

1. Для получения целых коэффициентов выберем $a$ равным наименьшему общему кратному знаменателей 2 и 3, то есть $a = 6$.
Трёхчлен будет иметь вид: $6(x - \frac{3}{2})(x - \frac{2}{3}) = 2(x - \frac{3}{2}) \cdot 3(x - \frac{2}{3}) = (2x - 3)(3x - 2) = 6x^2 - 4x - 9x + 6 = 6x^2 - 13x + 6$.

2. Выберем другой коэффициент, например, умножим полученный трёхчлен на -1 (что эквивалентно выбору $a = -6$).
Трёхчлен будет иметь вид: $-1 \cdot (6x^2 - 13x + 6) = -6x^2 + 13x - 6$.

Ответ: $6x^2 - 13x + 6$ и $-6x^2 + 13x - 6$.