Номер 566, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 566, страница 162.

Условие.

566 Докажите, что:

а) $\frac{a+2}{a-5} - \frac{3a}{a^2-7a+10} - \frac{2}{a-2} = \frac{3-a}{5-a};$

б) $1 + \frac{a-4}{a-3} - \frac{a}{a+4} - \frac{7a}{a^2+a-12} = \frac{a-7}{a-3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала разложим на множители знаменатель второй дроби $a^2 - 7a + 10$. Корнями квадратного уравнения $a^2 - 7a + 10 = 0$ являются $a_1=2$ и $a_2=5$ (согласно теореме Виета), следовательно, $a^2 - 7a + 10 = (a-2)(a-5)$.

Теперь приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(a-2)(a-5)$:

$\frac{a+2}{a-5} - \frac{3a}{(a-2)(a-5)} - \frac{2}{a-2} = \frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)(a-5)} - \frac{3a}{(a-2)(a-5)} - \frac{2(a-5)}{(a-2)(a-5)}$

Запишем все под одним знаменателем и упростим числитель:

$\frac{(a+2)(a-2) - 3a - 2(a-5)}{(a-2)(a-5)} = \frac{a^2-4 - 3a - 2a+10}{(a-2)(a-5)} = \frac{a^2-5a+6}{(a-2)(a-5)}$

Разложим на множители получившийся числитель $a^2-5a+6$. Корни уравнения $a^2-5a+6=0$ равны $a_1=2$ и $a_2=3$. Таким образом, $a^2-5a+6 = (a-2)(a-3)$.

Подставим это в наше выражение и сократим дробь на общий множитель $(a-2)$:

$\frac{(a-2)(a-3)}{(a-2)(a-5)} = \frac{a-3}{a-5}$

Теперь преобразуем правую часть исходного равенства:

$\frac{3-a}{5-a} = \frac{-(a-3)}{-(a-5)} = \frac{a-3}{a-5}$

Поскольку преобразованная левая часть равна преобразованной правой части, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала разложим на множители знаменатель $a^2 + a - 12$. Корнями уравнения $a^2 + a - 12 = 0$ являются $a_1=3$ и $a_2=-4$, следовательно, $a^2 + a - 12 = (a-3)(a+4)$.

Теперь приведем все слагаемые в левой части к общему знаменателю $(a-3)(a+4)$:

$1 + \frac{a-4}{a-3} - \frac{a}{a+4} - \frac{7a}{(a-3)(a+4)} = \frac{(a-3)(a+4)}{(a-3)(a+4)} + \frac{(a-4)(a+4)}{(a-3)(a+4)} - \frac{a(a-3)}{(a-3)(a+4)} - \frac{7a}{(a-3)(a+4)}$

Запишем все под одним знаменателем и упростим числитель, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:

$\frac{(a^2+a-12) + (a^2-16) - (a^2-3a) - 7a}{(a-3)(a+4)} = \frac{a^2+a-12+a^2-16-a^2+3a-7a}{(a-3)(a+4)}$

$\frac{(a^2+a^2-a^2) + (a+3a-7a) + (-12-16)}{(a-3)(a+4)} = \frac{a^2-3a-28}{(a-3)(a+4)}$

Разложим на множители получившийся числитель $a^2-3a-28$. Корни уравнения $a^2-3a-28=0$ равны $a_1=7$ и $a_2=-4$. Таким образом, $a^2-3a-28 = (a-7)(a+4)$.

Подставим это в наше выражение и сократим дробь на общий множитель $(a+4)$:

$\frac{(a-7)(a+4)}{(a-3)(a+4)} = \frac{a-7}{a-3}$

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.