Номер 567, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 567, страница 162.

Условие.

567 Упростите выражение:

а) $\frac{3a}{a^3-1} - \frac{3}{a^2+a+1} - \frac{1}{a-1};$

б) $\frac{2}{a+2} - \frac{6}{a^2-2a+4} - \frac{24}{a^3+8}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $ \frac{3a}{a^3 - 1} - \frac{3}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1} $

Чтобы упростить выражение, приведем все дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби является формулой разности кубов: $ a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1) $.

Таким образом, наименьший общий знаменатель для всех трех дробей равен $ (a - 1)(a^2 + a + 1) $.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (a - 1) $, а третьей дроби — на $ (a^2 + a + 1) $:

$ \frac{3a}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{3(a - 1)}{(a^2 + a + 1)(a - 1)} - \frac{1(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним вычитание их числителей:

$ \frac{3a - 3(a - 1) - (a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{3a - 3a + 3 - a^2 - a - 1}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{-a^2 - a + 2}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $

Разложим числитель $ -a^2 - a + 2 $ на множители. Для этого найдем корни уравнения $ -a^2 - a + 2 = 0 $. Умножим на -1: $ a^2 + a - 2 = 0 $. По теореме Виета, корни $ a_1 = 1 $ и $ a_2 = -2 $. Тогда $ -a^2 - a + 2 = -(a-1)(a+2) $.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $ (a - 1) $:

$ \frac{-(a - 1)(a + 2)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = -\frac{a + 2}{a^2 + a + 1} $

Ответ: $ -\frac{a + 2}{a^2 + a + 1} $

б) $ \frac{2}{a + 2} - \frac{6}{a^2 - 2a + 4} - \frac{24}{a^3 + 8} $

Для приведения дробей к общему знаменателю разложим знаменатели на множители. Знаменатель третьей дроби является формулой суммы кубов: $ a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - 2a + 4) $.

Наименьший общий знаменатель равен $ (a + 2)(a^2 - 2a + 4) $.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $ (a^2 - 2a + 4) $, для второй — $ (a + 2) $. Третья дробь уже имеет нужный знаменатель.

$ \frac{2(a^2 - 2a + 4)}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} - \frac{6(a + 2)}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} - \frac{24}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} $

Объединим дроби, выполняя действия с числителями:

$ \frac{2(a^2 - 2a + 4) - 6(a + 2) - 24}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{2a^2 - 4a + 8 - 6a - 12 - 24}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} = \frac{2a^2 - 10a - 28}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} $

Разложим числитель $ 2a^2 - 10a - 28 $ на множители. Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки: $ 2(a^2 - 5a - 14) $. Затем разложим квадратный трехчлен $ a^2 - 5a - 14 $. Его корнями являются $ a_1 = 7 $ и $ a_2 = -2 $. Таким образом, $ a^2 - 5a - 14 = (a-7)(a+2) $.

Весь числитель равен $ 2(a - 7)(a + 2) $.

Подставим разложение в дробь и сократим на общий множитель $ (a + 2) $:

$ \frac{2(a - 7)(a + 2)}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} = \frac{2(a - 7)}{a^2 - 2a + 4} $

Ответ: $ \frac{2(a - 7)}{a^2 - 2a + 4} $