Номер 562, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 562, страница 162.

Условие.

562 Магазин покупает на оптовом складе партию тетрадей в 500 штук по цене 4 р. за тетрадь. Увеличение партии на каждые 50 тетрадей приводит к снижению цены одной тетради на 20 к. Эта скидка сохраняется только в том случае, если общая партия не превышает 750 тетрадей. Магазин дополнительно заплатил ещё 210 р. На сколько тетрадей увеличилась закупаемая партия?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1. Определим начальную и итоговую стоимость закупки.

Изначально магазин покупал 500 тетрадей по 4 рубля за штуку. Начальная стоимость партии ($C_0$) составляла:
$C_0 = 500 \times 4 = 2000$ рублей.

Магазин заплатил дополнительно 210 рублей, значит итоговая стоимость закупки ($C_1$) составила:
$C_1 = 2000 + 210 = 2210$ рублей.

2. Составим уравнение.

Пусть $x$ — это количество увеличений партии на 50 тетрадей. Каждое такое увеличение снижает цену на 20 копеек (0,2 рубля).
Новое количество тетрадей ($Q_1$): $Q_1 = 500 + 50x$.
Новая цена за тетрадь ($P_1$): $P_1 = 4 - 0.2x$.

Итоговая стоимость — это произведение нового количества на новую цену:
$(500 + 50x)(4 - 0.2x) = 2210$.

3. Решим уравнение.

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2000 - 100x + 200x - 10x^2 = 2210$.

Приведем подобные слагаемые и запишем в виде стандартного квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:
$10x^2 - 100x + 210 = 0$.

Разделим уравнение на 10 для упрощения:
$x^2 - 10x + 21 = 0$.

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 10, а их произведение — 21. Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$.

4. Проверим корни на соответствие условию.

По условию, скидка действует, только если общая партия не превышает 750 тетрадей:
$500 + 50x \le 750$.

Решим это неравенство относительно $x$:
$50x \le 250$
$x \le 5$.

Из двух найденных корней только $x = 3$ удовлетворяет этому условию ($3 \le 5$). Корень $x = 7$ не подходит, так как $7 > 5$. Следовательно, верное решение $x=3$.

5. Найдем, на сколько увеличилась партия.

Увеличение партии равно $50x$. Подставляя действительное значение $x = 3$, получаем:
$50 \times 3 = 150$ тетрадей.

Ответ: закупаемая партия увеличилась на 150 тетрадей.