Номер 555, страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 555, страница 161.

Условие.

555 a) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0;$

б) $x^4 + 8x^2 - 9 = 0;$

В) $9x^4 - 82x^2 + 9 = 0;$

Г) $4x^4 + 9x^2 + 2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.

Подставим $y$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 6y + 8 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = 6$ и произведение корней $y_1 \cdot y_2 = 8$. Отсюда находим корни:

$y_1 = 2$

$y_2 = 4$

Оба корня ($2$ и $4$) являются положительными, поэтому удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1) $x^2 = y_1 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$

2) $x^2 = y_2 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm\sqrt{4} \Rightarrow x = \pm2$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-2; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 2$.

б) $x^4 + 8x^2 - 9 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$y^2 + 8y - 9 = 0$

Решим его. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = -8$ и $y_1 \cdot y_2 = -9$. Корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = -9$

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

$y_1 = 1$ подходит, так как $1 > 0$.

$y_2 = -9$ не подходит, так как $-9 < 0$. Этот корень является посторонним.

Выполним обратную замену для подходящего корня:

$x^2 = y_1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm\sqrt{1} \Rightarrow x = \pm1$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1; 1$.

в) $9x^4 - 82x^2 + 9 = 0$

Снова имеем биквадратное уравнение. Пусть $y = x^2$, при условии $y \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное:

$9y^2 - 82y + 9 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-82)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 - 324 = 6400$

$\sqrt{D} = \sqrt{6400} = 80$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{82 + 80}{2 \cdot 9} = \frac{162}{18} = 9$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{82 - 80}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Оба корня ($9$ и $\frac{1}{9}$) положительны, значит, оба подходят.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 = y_1 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm\sqrt{9} \Rightarrow x = \pm3$

2) $x^2 = y_2 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{3}$

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3; -\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; 3$.

г) $4x^4 + 9x^2 + 2 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $y = x^2$, $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$4y^2 + 9y + 2 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$

$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$

Оба полученных корня для $y$ отрицательны: $y_1 = -\frac{1}{4} < 0$ и $y_2 = -2 < 0$.

Они не удовлетворяют условию $y \ge 0$, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у исходного уравнения нет действительных корней.

Ответ: нет корней.