Номер 558, страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 558, страница 161.

Условие.

558 a) Периметр прямоугольника равен $38 \text{ см}$. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна $84 \text{ см}^2$.

б) Детская площадка прямоугольной формы обнесена забором, длина которого $48 \text{ м}$. Найдите длины сторон этой площадки, если её площадь равна $140 \text{ м}^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$. Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, а площадь ($S$) — по формуле $S = a \cdot b$. По условиям задачи мы имеем систему из двух уравнений:

$2(a+b) = 38$

$a \cdot b = 84$

Из первого уравнения найдем сумму длин сторон:

$a+b = \frac{38}{2}$

$a+b = 19$

Теперь наша система выглядит так:

$a+b = 19$

$a \cdot b = 84$

Такую систему можно решить методом подстановки, что приведет к квадратному уравнению. Выразим $a$ из первого уравнения: $a = 19 - b$. Подставим полученное выражение во второе уравнение:

$(19 - b) \cdot b = 84$

Раскроем скобки:

$19b - b^2 = 84$

Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$b^2 - 19b + 84 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = k^2 - 4ac$:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 361 - 336 = 25$

Теперь найдем корни уравнения (значения стороны $b$):

$b_1 = \frac{-(-19) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{19 + 5}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$b_2 = \frac{-(-19) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{19 - 5}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Мы получили два возможных значения для одной из сторон. Найдем вторую сторону для каждого случая:

Если $b_1 = 12$ см, то $a_1 = 19 - 12 = 7$ см.

Если $b_2 = 7$ см, то $a_2 = 19 - 7 = 12$ см.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 7 см и 12 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 7 см и 12 см.

б)

Длина забора, которым обнесена площадка, — это ее периметр. Таким образом, периметр прямоугольной площадки $P = 48$ м, а ее площадь $S = 140$ м². Пусть длины сторон площадки равны $a$ и $b$. Составим систему уравнений, аналогичную предыдущей задаче:

$2(a+b) = 48$

$a \cdot b = 140$

Из первого уравнения выразим сумму сторон:

$a+b = \frac{48}{2}$

$a+b = 24$

Выразим одну переменную через другую, например, $a = 24 - b$. Подставим это выражение в уравнение площади:

$(24 - b) \cdot b = 140$

$24b - b^2 = 140$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$b^2 - 24b + 140 = 0$

Решим уравнение через дискриминант $D = k^2 - 4ac$:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 140 = 576 - 560 = 16$

Найдем корни уравнения:

$b_1 = \frac{-(-24) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$b_2 = \frac{-(-24) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Найдем вторую сторону для каждого из найденных значений:

Если $b_1 = 14$ м, то $a_1 = 24 - 14 = 10$ м.

Если $b_2 = 10$ м, то $a_2 = 24 - 10 = 14$ м.

Следовательно, длины сторон площадки равны 10 м и 14 м.

Ответ: длины сторон площадки равны 10 м и 14 м.