Номер 563, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 563, страница 162.

Условие.

563 Уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$. Запишите уравнение, корни которого равны:

a) $mx_1$ и $mx_2$;

б) $\frac{m}{x_1}$ и $\frac{m}{x_2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета, для этого уравнения справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Чтобы найти новое квадратное уравнение, мы воспользуемся обратной теоремой Виета. Если $y_1$ и $y_2$ — корни искомого уравнения, то его можно записать в виде $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0$. Мы найдем сумму и произведение новых корней и подставим их в эту формулу.

a) $mx_1$ и $mx_2$;

Пусть новые корни равны $y_1 = mx_1$ и $y_2 = mx_2$. Найдем их сумму и произведение.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = mx_1 + mx_2 = m(x_1 + x_2) = m \cdot \left(-\frac{b}{a}\right) = -\frac{mb}{a}$

Произведение новых корней:

$y_1 y_2 = (mx_1)(mx_2) = m^2(x_1 x_2) = m^2 \cdot \frac{c}{a} = \frac{m^2c}{a}$

Теперь подставим найденные сумму и произведение в общую формулу квадратного уравнения $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0$:

$y^2 - \left(-\frac{mb}{a}\right)y + \frac{m^2c}{a} = 0$

$y^2 + \frac{mb}{a}y + \frac{m^2c}{a} = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $a$ (при условии, что $a \neq 0$, что следует из того, что исходное уравнение является квадратным):

$a y^2 + mb y + m^2c = 0$

Заменив переменную $y$ на $x$ для соответствия стандартной записи, получаем искомое уравнение.

Ответ: $ax^2 + mbx + m^2c = 0$.

б) $\frac{m}{x_1}$ и $\frac{m}{x_2}$.

Пусть новые корни равны $y_1 = \frac{m}{x_1}$ и $y_2 = \frac{m}{x_2}$. Для существования этих корней необходимо, чтобы $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$, что означает $c \neq 0$ (так как $x_1 x_2 = c/a$). Найдем сумму и произведение новых корней.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = \frac{m}{x_1} + \frac{m}{x_2} = m\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\right) = m\left(\frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}\right) = m \cdot \frac{-b/a}{c/a} = m \cdot \left(-\frac{b}{c}\right) = -\frac{mb}{c}$

Произведение новых корней:

$y_1 y_2 = \frac{m}{x_1} \cdot \frac{m}{x_2} = \frac{m^2}{x_1 x_2} = \frac{m^2}{c/a} = \frac{am^2}{c}$

Подставим найденные значения в формулу $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0$:

$y^2 - \left(-\frac{mb}{c}\right)y + \frac{am^2}{c} = 0$

$y^2 + \frac{mb}{c}y + \frac{am^2}{c} = 0$

Умножим обе части уравнения на $c$ (при условии $c \neq 0$):

$c y^2 + mb y + am^2 = 0$

Заменив переменную $y$ на $x$, получаем искомое уравнение.

Ответ: $cx^2 + mbx + am^2 = 0$.