Номер 4, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 4, страница 164.

Условие.

4 Запишите формулу корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Стандартное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — коэффициенты, причём $a \neq 0$.

Корни этого уравнения обычно находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

Рассмотрим случай, когда второй коэффициент $b$ является чётным числом. В этом случае его можно представить в виде $b = 2k$, где $k = \frac{b}{2}$.

Подставим $b = 2k$ в стандартную формулу корней и упростим выражение: $x_{1,2} = \frac{-(2k) \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a}$

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a}$

Вынесем множитель 4 из-под знака корня: $x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4(k^2 - ac)}}{2a} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a}$

Сократим дробь на 2: $x_{1,2} = \frac{2(-k \pm \sqrt{k^2 - ac})}{2a} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Эта формула удобнее для вычислений, когда коэффициент $b$ — чётный. В ней используется так называемый "упрощённый" дискриминант, который часто обозначают $D_1$ или $D/4$: $D_1 = k^2 - ac = (\frac{b}{2})^2 - ac$.

Таким образом, для квадратного уравнения $ax^2 + 2kx + c = 0$ (где $b=2k$), корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.

Ответ: Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с чётным вторым коэффициентом $b$ (т.е. $b = 2k$) формула корней имеет вид: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.