Номер 4, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 4, страница 165.

Условие.

Решите задачу (4–5).

4

Вокруг детской площадки прямоугольной формы сооружена изгородь, длина которой 30 м. Определите размеры площадки, если её площадь равна 50 $м^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

4.

Для решения этой задачи обозначим длину и ширину прямоугольной детской площадки как $a$ и $b$ соответственно.

Из условия известно, что длина изгороди, сооруженной вокруг площадки, равна 30 м. Длина изгороди представляет собой периметр прямоугольника. Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a + b)$.

Также нам дана площадь площадки, которая равна 50 м². Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.

Таким образом, мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} 2(a + b) = 30 \\ a \cdot b = 50 \end{cases} $

Сначала упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:

$a + b = 15$

Теперь у нас есть система:

$ \begin{cases} a + b = 15 \\ a \cdot b = 50 \end{cases} $

Эту систему можно решить методом подстановки. Выразим переменную $a$ из первого уравнения:

$a = 15 - b$

Подставим полученное выражение для $a$ во второе уравнение:

$(15 - b) \cdot b = 50$

Раскроем скобки:

$15b - b^2 = 50$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$b^2 - 15b + 50 = 0$

Решим это уравнение. Можно применить теорему Виета (сумма корней равна 15, произведение равно 50, что дает корни 10 и 5) или найти корни через дискриминант $D = B^2 - 4AC$.

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 225 - 200 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$b_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 5}{2} = 10$

$b_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 5}{2} = 5$

Мы нашли два возможных значения для одной из сторон. Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны $a$, используя выражение $a = 15 - b$:

• Если $b = 10$ м, то $a = 15 - 10 = 5$ м.
• Если $b = 5$ м, то $a = 15 - 5 = 10$ м.

В обоих случаях мы получаем, что стороны площадки равны 5 м и 10 м.

Проверим полученные значения:

Периметр: $2(5 + 10) = 2 \cdot 15 = 30$ м.

Площадь: $5 \cdot 10 = 50$ м².

Все условия задачи выполнены.

Ответ: размеры площадки 5 м и 10 м.