Номер 1, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 1, страница 165.

Условие.

1 Решите уравнение:

а) $3x^2 + 5x - 2 = 0;$

б) $x^2 - 2x - 1 = 0;$

в) $4x^2 - 12x + 9 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дано квадратное уравнение $3x^2 + 5x - 2 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны $a = 3$, $b = 5$, $c = -2$.

Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Найдем первый корень:

$x_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$.

Найдем второй корень:

$x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = \frac{1}{3}$.

б) Дано квадратное уравнение $x^2 - 2x - 1 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны $a = 1$, $b = -2$, $c = -1$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 2\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Таким образом, $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Ответ: $x_1 = 1 - \sqrt{2}$, $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

в) Дано квадратное уравнение $4x^2 - 12x + 9 = 0$.

Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = 4x^2 = (2x)^2$, $b^2 = 9 = 3^2$, а $2ab = 2 \cdot (2x) \cdot 3 = 12x$.

Следовательно, уравнение можно переписать в виде:

$(2x - 3)^2 = 0$.

Это уравнение равносильно следующему:

$2x - 3 = 0$.

$2x = 3$.

$x = \frac{3}{2} = 1.5$.

Уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).

Альтернативное решение через дискриминант:

$a=4$, $b=-12$, $c=9$.

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$.

Так как $D=0$, уравнение имеет один корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$.

$x = \frac{-(-12)}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: $x = 1.5$.