Номер 3, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3, страница 164.

Условие.

3 Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Как это зависит от дискриминанта? Определите, сколько корней имеет уравнение:

a) $3x^2 - 7x - 4 = 0;$

б) $2x^2 + x + 2 = 0;$

в) $4x^2 - 4x + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Количество действительных (вещественных) корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$) определяется знаком его дискриминанта ($D$).

Дискриминант вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

• Если дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).
• Если дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, квадратное уравнение может иметь два, один или ноль действительных корней.

Определим количество корней для данных уравнений.

а) $3x^2 - 7x - 4 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -7$, $c = -4$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 49 + 48 = 97$.

Поскольку $D = 97 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: 2 корня.

б) $2x^2 + x + 2 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 1$, $c = 2$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$.

Поскольку $D = -15 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней (0 корней).

в) $4x^2 - 4x + 1 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 4$, $b = -4$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$.

Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. (Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $(2x-1)^2 = 0$, что дает один корень $x=0.5$).

Ответ: 1 корень.