Номер 3, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3, страница 165.

Условие.

3 Решите уравнение:

а) $3x^2 = 2x + 4$;

б) $(x-1)(2x+3)=-2$;

в) $\frac{x^2+7}{2}=4x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $3x^2 = 2x + 4$

Для решения приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$3x^2 - 2x - 4 = 0$

Здесь коэффициенты: $a=3$, $b=-2$, $c=-4$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 4 + 48 = 52$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 13}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{6}$

Сократим полученную дробь на 2:

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$.

б) $(x-1)(2x+3) = -2$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$x \cdot 2x + x \cdot 3 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 3 = -2$

$2x^2 + 3x - 2x - 3 = -2$

$2x^2 + x - 3 = -2$

Теперь приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся -2 в левую часть:

$2x^2 + x - 3 + 2 = 0$

$2x^2 + x - 1 = 0$

Коэффициенты: $a=2$, $b=1$, $c=-1$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Ответ: $x_1 = 0.5$, $x_2 = -1$.

в) $\frac{x^2+7}{2} = 4x$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 2:

$x^2 + 7 = 2 \cdot 4x$

$x^2 + 7 = 8x$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся $8x$ в левую часть:

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=-8$, $c=7$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm 6}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 6}{2}$

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.