Номер 9, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 9, страница 165.

Условие.

9 Приведите пример квадратного трёхчлена. Запишите формулу для разложения на множители квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$, корни которого равны $x_1$ и $x_2$. Разложите, если возможно, на множители многочлен $-2x^2 + x + 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пример квадратного трёхчлена

Квадратным трёхчленом называется многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа, причём $a \neq 0$. Например, $3x^2 - 10x + 1$ является квадратным трёхчленом.

Ответ: $3x^2 - 10x + 1$.

Формула для разложения на множители квадратного трёхчлена

Если квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ имеет корни $x_1$ и $x_2$ (то есть, $x_1$ и $x_2$ — решения уравнения $ax^2 + bx + c = 0$), то он раскладывается на множители по следующей формуле:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Ответ: $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Разложение многочлена $-2x^2 + x + 3$ на множители

Чтобы разложить на множители многочлен $-2x^2 + x + 3$, необходимо сначала найти его корни. Для этого решим квадратное уравнение $-2x^2 + x + 3 = 0$.
Коэффициенты данного уравнения: $a = -2, b = 1, c = 3$.
Найдём дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 3 = 1 - (-24) = 1 + 24 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-1 + 5}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$.
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-1 - 5}{-4} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$.
Теперь применим формулу разложения на множители $a(x - x_1)(x - x_2)$, подставив в неё найденные корни $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{3}{2}$ и коэффициент $a = -2$:
$-2x^2 + x + 3 = -2(x - (-1))(x - \frac{3}{2}) = -2(x + 1)(x - \frac{3}{2})$.
Этот результат можно упростить, внеся множитель $2$ во вторую скобку:
$-2(x + 1)(x - \frac{3}{2}) = -(x + 1) \cdot 2(x - \frac{3}{2}) = -(x + 1)(2x - 3)$.

Ответ: $-2(x + 1)(x - \frac{3}{2})$ или в более простом виде $-(x + 1)(2x - 3)$.