Номер 8, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 8, страница 165.

Условие.

8 Чему равны сумма и произведение корней неприведённого квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$? Определите знаки корней уравнения:

а) $3x^2 - 5x + 2 = 0$;

б) $2x^2 + 7x - 3 = 0$.

В случае если корни имеют разные знаки, определите, модуль какого из них больше.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для неприведённого квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни, справедливы обобщенные формулы Виета:

• Сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Используем эти формулы для анализа данных уравнений.

а) $3x^2 - 5x + 2 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$.
Прежде всего, убедимся, что корни существуют. Для этого вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем сумму и произведение корней по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{3} = \frac{5}{3}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$.

Определим знаки корней:
1. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3}$ положительно. Это означает, что корни имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).
2. Сумма корней $x_1 + x_2 = \frac{5}{3}$ также положительна. Если бы оба корня были отрицательными, их сумма была бы отрицательной. Следовательно, оба корня положительные.

Ответ: сумма корней равна $\frac{5}{3}$, произведение корней равно $\frac{2}{3}$. Оба корня положительные.

б) $2x^2 + 7x - 3 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a = 2$, $b = 7$, $c = -3$.
Проверим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49 + 24 = 73$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем сумму и произведение корней по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{2}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{3}{2}$.

Определим знаки корней и сравним их модули:
1. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{2}$ отрицательно. Это означает, что корни имеют разные знаки (один корень положительный, а другой отрицательный).
2. Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{7}{2}$ отрицательна. Сумма чисел с разными знаками отрицательна в том случае, если модуль отрицательного числа больше модуля положительного числа.

Ответ: сумма корней равна $-\frac{7}{2}$, произведение корней равно $-\frac{3}{2}$. Корни имеют разные знаки; модуль отрицательного корня больше.