Страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

537 Покажите, что квадратные трёхчлены $x^2 + 2x - 3$, $2x^2 + 4x - 6$, $-5x^2 - 10x + 15$ имеют одни и те же корни. Разложите эти квадратные трёхчлены на множители.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно показать, что у данных квадратных трёхчленов одни и те же корни, а затем разложить их на множители.

Часть 1: Доказательство равенства корней

Чтобы доказать, что у всех трёхчленов одинаковые корни, найдём корни одного из них, а затем покажем, что остальные трёхчлены пропорциональны ему.

Найдём корни первого трёхчлена $x^2 + 2x - 3$. Для этого решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Теперь найдём корни $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$.
Таким образом, корни трёхчлена $x^2 + 2x - 3$ равны $1$ и $-3$.

Теперь рассмотрим два других трёхчлена.
Для трёхчлена $2x^2 + 4x - 6$ вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(x^2 + 2x - 3)$.
Для трёхчлена $-5x^2 - 10x + 15$ вынесем общий множитель -5 за скобки: $-5(x^2 + 2x - 3)$.
Корни уравнения $k \cdot f(x) = 0$ (где $k \neq 0$) совпадают с корнями уравнения $f(x) = 0$. Поскольку оба трёхчлена являются произведением трёхчлена $x^2 + 2x - 3$ на константу, их корни будут такими же.
Следовательно, все три трёхчлена имеют одни и те же корни: $1$ и $-3$.

Часть 2: Разложение на множители

Для разложения квадратного трёхчлена на множители воспользуемся формулой $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни трёхчлена.

$x^2 + 2x - 3$
Коэффициент $a=1$, корни $x_1=1$ и $x_2=-3$.
$x^2 + 2x - 3 = 1 \cdot (x - 1)(x - (-3)) = (x - 1)(x + 3)$.
Ответ: $(x - 1)(x + 3)$.

$2x^2 + 4x - 6$
Коэффициент $a=2$, корни $x_1=1$ и $x_2=-3$.
$2x^2 + 4x - 6 = 2(x - 1)(x - (-3)) = 2(x - 1)(x + 3)$.
Ответ: $2(x - 1)(x + 3)$.

$-5x^2 - 10x + 15$
Коэффициент $a=-5$, корни $x_1=1$ и $x_2=-3$.
$-5x^2 - 10x + 15 = -5(x - 1)(x - (-3)) = -5(x - 1)(x + 3)$.
Ответ: $-5(x - 1)(x + 3)$.

538 Сократите дробь:

a) $\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 5x}$;

б) $\frac{a^2 - 9}{a^2 + 8a + 15}$;

в) $\frac{y^2 - 7y + 12}{2y^2 - 8y}$;

г) $\frac{b^2 - 25}{b^2 - 8b + 15}$;

д) $\frac{m^2 - 2m - 8}{m^2 + 4m + 4}$;

е) $\frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 5n + 4}$.

а) $\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 5x}$

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $x^2 + 6x + 5$ — это квадратный трехчлен. Для его разложения на множители вида $a(x-x_1)(x-x_2)$ найдем корни уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $5$. Подбором находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.
Следовательно, $x^2 + 6x + 5 = (x - (-1))(x - (-5)) = (x+1)(x+5)$.

В знаменателе $x^2 + 5x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 + 5x = x(x+5)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x+5)$:
$\frac{(x+1)(x+5)}{x(x+5)} = \frac{x+1}{x}$ (при условии, что $x \neq -5$).

Ответ: $\frac{x+1}{x}$

б) $\frac{a^2 - 9}{a^2 + 8a + 15}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $a^2 - 9$ — это разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a-3)(a+3)$.

Знаменатель $a^2 + 8a + 15$ — это квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $a^2 + 8a + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а их произведение равно $15$. Корни: $a_1 = -3$ и $a_2 = -5$.
Следовательно, $a^2 + 8a + 15 = (a - (-3))(a - (-5)) = (a+3)(a+5)$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $(a+3)$:
$\frac{(a-3)(a+3)}{(a+3)(a+5)} = \frac{a-3}{a+5}$ (при условии, что $a \neq -3$).

Ответ: $\frac{a-3}{a+5}$

в) $\frac{y^2 - 7y + 12}{2y^2 - 8y}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $y^2 - 7y + 12$ — это квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $y^2 - 7y + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а их произведение равно $12$. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = 4$.
Следовательно, $y^2 - 7y + 12 = (y-3)(y-4)$.

В знаменателе $2y^2 - 8y$ вынесем общий множитель $2y$ за скобки: $2y^2 - 8y = 2y(y-4)$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $(y-4)$:
$\frac{(y-3)(y-4)}{2y(y-4)} = \frac{y-3}{2y}$ (при условии, что $y \neq 4$).

Ответ: $\frac{y-3}{2y}$

г) $\frac{b^2 - 25}{b^2 - 8b + 15}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $b^2 - 25$ — это разность квадратов: $b^2 - 25 = b^2 - 5^2 = (b-5)(b+5)$.

Знаменатель $b^2 - 8b + 15$ — это квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $b^2 - 8b + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $8$, а их произведение равно $15$. Корни: $b_1 = 3$ и $b_2 = 5$.
Следовательно, $b^2 - 8b + 15 = (b-3)(b-5)$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $(b-5)$:
$\frac{(b-5)(b+5)}{(b-3)(b-5)} = \frac{b+5}{b-3}$ (при условии, что $b \neq 5$).

Ответ: $\frac{b+5}{b-3}$

д) $\frac{m^2 - 2m - 8}{m^2 + 4m + 4}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $m^2 - 2m - 8$ — это квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $m^2 - 2m - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-8$. Корни: $m_1 = 4$ и $m_2 = -2$.
Следовательно, $m^2 - 2m - 8 = (m-4)(m-(-2)) = (m-4)(m+2)$.

Знаменатель $m^2 + 4m + 4$ — это полный квадрат суммы. Применим формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$m^2 + 4m + 4 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = (m+2)^2$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $(m+2)$:
$\frac{(m-4)(m+2)}{(m+2)^2} = \frac{m-4}{m+2}$ (при условии, что $m \neq -2$).

Ответ: $\frac{m-4}{m+2}$

е) $\frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 5n + 4}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $n^2 + 2n + 1$ — это полный квадрат суммы: $n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$.

Знаменатель $n^2 + 5n + 4$ — это квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $n^2 + 5n + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $4$. Корни: $n_1 = -1$ и $n_2 = -4$.
Следовательно, $n^2 + 5n + 4 = (n-(-1))(n-(-4)) = (n+1)(n+4)$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $(n+1)$:
$\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+4)} = \frac{n+1}{n+4}$ (при условии, что $n \neq -1$).

Ответ: $\frac{n+1}{n+4}$

539 Разложите на множители:

а) $x^3 + 3x^2 + 2x$;

В) $x^3 - 12x^2 + 32x$;

б) $x^3 - 7x^2 + 10x$;

Г) $x^4 + x^3 - 6x^2$.

а) $x^3 + 3x^2 + 2x$

Для разложения на множители данного многочлена первым шагом вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^3 + 3x^2 + 2x = x(x^2 + 3x + 2)$
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 2$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $2$. Корнями являются числа $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.
Следовательно, квадратный трехчлен можно представить в виде произведения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 3x + 2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x+1)(x+2)$.
Подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:
$x(x^2 + 3x + 2) = x(x+1)(x+2)$.

Ответ: $x(x+1)(x+2)$

б) $x^3 - 7x^2 + 10x$

Сначала выносим общий множитель $x$ за скобки:
$x^3 - 7x^2 + 10x = x(x^2 - 7x + 10)$
Далее разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 7x + 10$. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а произведение равно $10$. Корнями являются числа $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.
Таким образом, разложение трехчлена имеет вид $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5)$.
Окончательное разложение исходного многочлена:
$x(x^2 - 7x + 10) = x(x-2)(x-5)$.

Ответ: $x(x-2)(x-5)$

в) $x^3 - 12x^2 + 32x$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^3 - 12x^2 + 32x = x(x^2 - 12x + 32)$
Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 12x + 32$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 12x + 32 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $12$, а произведение равно $32$. Корнями являются числа $x_1 = 4$ и $x_2 = 8$.
Представим трехчлен в виде произведения:
$x^2 - 12x + 32 = (x-4)(x-8)$.
Полное разложение исходного выражения:
$x(x^2 - 12x + 32) = x(x-4)(x-8)$.

Ответ: $x(x-4)(x-8)$

г) $x^4 + x^3 - 6x^2$

В данном выражении общий множитель для всех членов — это $x^2$. Вынесем его за скобки:
$x^4 + x^3 - 6x^2 = x^2(x^2 + x - 6)$
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 6$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Корнями являются числа $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Разложение трехчлена на множители:
$x^2 + x - 6 = (x - (-3))(x - 2) = (x+3)(x-2)$.
Окончательный вид разложения:
$x^2(x^2 + x - 6) = x^2(x+3)(x-2)$.

Ответ: $x^2(x+3)(x-2)$

540 Составьте какое-нибудь уравнение, имеющее корни:

a) $2$; $-8$;

б) $0$; $-1$; $5$;

в) $0$; $10$; $12$;

г) $1$; $2$; $-2$;

д) $1$; $2$; $-3$;

е) $0$; $1$; $2$; $3$.

Основной принцип для решения этой задачи заключается в том, что если уравнение имеет корни $x_1, x_2, \ldots, x_n$, то его можно представить в виде произведения, равного нулю: $(x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_n) = 0$. Затем, раскрыв скобки, мы получим уравнение в виде многочлена.

а) Даны корни $2$ и $-8$.

Составим уравнение, используя множители $(x - 2)$ и $(x - (-8))$:

$(x - 2)(x - (-8)) = 0$

Упростим второй множитель:

$(x - 2)(x + 8) = 0$

Теперь раскроем скобки, перемножив многочлены:

$x^2 + 8x - 2x - 16 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 6x - 16 = 0$

Ответ: $x^2 + 6x - 16 = 0$.

б) Даны корни $0$, $-1$ и $5$.

Составим уравнение с тремя множителями:

$(x - 0)(x - (-1))(x - 5) = 0$

Упростим выражение:

$x(x + 1)(x - 5) = 0$

Раскроем скобки. Сначала перемножим $(x + 1)$ и $(x - 5)$:

$x(x^2 - 5x + x - 5) = 0$

$x(x^2 - 4x - 5) = 0$

Теперь умножим полученный многочлен на $x$:

$x^3 - 4x^2 - 5x = 0$

Ответ: $x^3 - 4x^2 - 5x = 0$.

в) Даны корни $0$, $10$ и $12$.

Составим уравнение с тремя множителями:

$(x - 0)(x - 10)(x - 12) = 0$

Упростим выражение:

$x(x - 10)(x - 12) = 0$

Раскроем скобки. Сначала перемножим $(x - 10)$ и $(x - 12)$:

$x(x^2 - 12x - 10x + 120) = 0$

$x(x^2 - 22x + 120) = 0$

Теперь умножим полученный многочлен на $x$:

$x^3 - 22x^2 + 120x = 0$

Ответ: $x^3 - 22x^2 + 120x = 0$.

г) Даны корни $1$, $2$ и $-2$.

Составим уравнение с тремя множителями:

$(x - 1)(x - 2)(x - (-2)) = 0$

Упростим выражение:

$(x - 1)(x - 2)(x + 2) = 0$

Заметим, что $(x - 2)(x + 2)$ является формулой разности квадратов: $x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

$(x - 1)(x^2 - 4) = 0$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$x \cdot x^2 + x \cdot (-4) - 1 \cdot x^2 - 1 \cdot (-4) = 0$

$x^3 - 4x - x^2 + 4 = 0$

Запишем многочлен в стандартном виде:

$x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0$

Ответ: $x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0$.

д) Даны корни $1$, $2$ и $-3$.

Составим уравнение с тремя множителями:

$(x - 1)(x - 2)(x - (-3)) = 0$

Упростим выражение:

$(x - 1)(x - 2)(x + 3) = 0$

Раскроем скобки. Сначала перемножим $(x - 1)$ и $(x - 2)$:

$(x^2 - 2x - x + 2)(x + 3) = 0$

$(x^2 - 3x + 2)(x + 3) = 0$

Теперь умножим полученный многочлен на $(x+3)$:

$x^2(x+3) - 3x(x+3) + 2(x+3) = 0$

$(x^3 + 3x^2) - (3x^2 + 9x) + (2x + 6) = 0$

$x^3 + 3x^2 - 3x^2 - 9x + 2x + 6 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 - 7x + 6 = 0$

Ответ: $x^3 - 7x + 6 = 0$.

е) Даны корни $0$, $1$, $2$ и $3$.

Составим уравнение с четырьмя множителями:

$(x - 0)(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$

Упростим выражение:

$x(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$

Раскроем скобки, сгруппировав множители для удобства: $[x(x - 1)][(x - 2)(x - 3)] = 0$.

Перемножим в каждой группе:

$(x^2 - x)(x^2 - 3x - 2x + 6) = 0$

$(x^2 - x)(x^2 - 5x + 6) = 0$

Теперь перемножим полученные многочлены:

$x^2(x^2 - 5x + 6) - x(x^2 - 5x + 6) = 0$

$(x^4 - 5x^3 + 6x^2) - (x^3 - 5x^2 + 6x) = 0$

$x^4 - 5x^3 + 6x^2 - x^3 + 5x^2 - 6x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x = 0$

Ответ: $x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x = 0$.

541 Представьте в виде произведения двух линейных множителей с целыми коэффициентами:

а) $6x^2 + 25x + 14$;

б) $18y^2 - 19y - 12$;

в) $-12z^2 - 11z + 15$;

г) $8m^2 - 27m - 20$;

д) $-6a^2 + a + 12$;

е) $24b^2 + 5b - 36$.

Для того чтобы представить квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ в виде произведения двух линейных множителей с целыми коэффициентами, мы воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

1. Приравняем трехчлен к нулю, чтобы найти его корни: $6x^2 + 25x + 14 = 0$.

2. Вычислим дискриминант ($a=6, b=25, c=14$):

$D = b^2 - 4ac = 25^2 - 4 \cdot 6 \cdot 14 = 625 - 336 = 289$.

3. Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{-25 + 17}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{-25 - 17}{12} = \frac{-42}{12} = -\frac{7}{2}$.

4. Подставим корни в формулу разложения:

$6(x - (-\frac{2}{3}))(x - (-\frac{7}{2})) = 6(x + \frac{2}{3})(x + \frac{7}{2})$.

5. Чтобы избавиться от дробей и получить целые коэффициенты, представим $6$ как $3 \cdot 2$ и внесем каждый множитель в соответствующую скобку:

$(3(x + \frac{2}{3}))(2(x + \frac{7}{2})) = (3x + 2)(2x + 7)$.

Ответ: $(3x + 2)(2x + 7)$.

1. Решим уравнение $18y^2 - 19y - 12 = 0$.

2. Дискриминант ($a=18, b=-19, c=-12$):

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-12) = 361 + 864 = 1225$.

3. Корни уравнения:

$y_1 = \frac{19 + \sqrt{1225}}{2 \cdot 18} = \frac{19 + 35}{36} = \frac{54}{36} = \frac{3}{2}$.

$y_2 = \frac{19 - \sqrt{1225}}{2 \cdot 18} = \frac{19 - 35}{36} = \frac{-16}{36} = -\frac{4}{9}$.

4. Разложение на множители:

$18(y - \frac{3}{2})(y - (-\frac{4}{9})) = 18(y - \frac{3}{2})(y + \frac{4}{9})$.

5. Представим $18$ как $2 \cdot 9$ и внесем множители в скобки:

$(2(y - \frac{3}{2}))(9(y + \frac{4}{9})) = (2y - 3)(9y + 4)$.

Ответ: $(2y - 3)(9y + 4)$.

1. Решим уравнение $-12z^2 - 11z + 15 = 0$. Удобнее работать с положительным старшим коэффициентом, умножим уравнение на $-1$: $12z^2 + 11z - 15 = 0$.

2. Дискриминант ($a=12, b=11, c=-15$):

$D = 11^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-15) = 121 + 720 = 841$.

3. Корни уравнения:

$z_1 = \frac{-11 + \sqrt{841}}{2 \cdot 12} = \frac{-11 + 29}{24} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.

$z_2 = \frac{-11 - \sqrt{841}}{2 \cdot 12} = \frac{-11 - 29}{24} = \frac{-40}{24} = -\frac{5}{3}$.

4. Разложение трехчлена $12z^2 + 11z - 15$:

$12(z - \frac{3}{4})(z - (-\frac{5}{3})) = 12(z - \frac{3}{4})(z + \frac{5}{3})$.

5. Внесем множители $4$ и $3$ ($12=4 \cdot 3$) в скобки:

$(4(z - \frac{3}{4}))(3(z + \frac{5}{3})) = (4z - 3)(3z + 5)$.

6. Так как мы раскладывали $12z^2 + 11z - 15$, а исходный трехчлен был $-12z^2 - 11z + 15$, нужно добавить множитель $-1$:

$-(4z - 3)(3z + 5) = (3 - 4z)(3z + 5)$.

Ответ: $(3 - 4z)(3z + 5)$.

1. Решим уравнение $8m^2 - 27m - 20 = 0$.

2. Дискриминант ($a=8, b=-27, c=-20$):

$D = (-27)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-20) = 729 + 640 = 1369$.

3. Корни уравнения:

$m_1 = \frac{27 + \sqrt{1369}}{2 \cdot 8} = \frac{27 + 37}{16} = \frac{64}{16} = 4$.

$m_2 = \frac{27 - \sqrt{1369}}{2 \cdot 8} = \frac{27 - 37}{16} = \frac{-10}{16} = -\frac{5}{8}$.

4. Разложение на множители:

$8(m - 4)(m - (-\frac{5}{8})) = 8(m - 4)(m + \frac{5}{8})$.

5. Внесем множитель $8$ во вторую скобку:

$(m - 4)(8(m + \frac{5}{8})) = (m - 4)(8m + 5)$.

Ответ: $(m - 4)(8m + 5)$.

1. Решим уравнение $-6a^2 + a + 12 = 0$. Умножим на $-1$: $6a^2 - a - 12 = 0$.

2. Дискриминант ($a=6, b=-1, c=-12$):

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289$.

3. Корни уравнения:

$a_1 = \frac{1 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

$a_2 = \frac{1 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 17}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$.

4. Разложение трехчлена $6a^2 - a - 12$:

$6(a - \frac{3}{2})(a - (-\frac{4}{3})) = 6(a - \frac{3}{2})(a + \frac{4}{3})$.

5. Внесем множители $2$ и $3$ ($6=2 \cdot 3$) в скобки:

$(2(a - \frac{3}{2}))(3(a + \frac{4}{3})) = (2a - 3)(3a + 4)$.

6. Учтем, что исходный трехчлен был с отрицательным коэффициентом:

$-(2a - 3)(3a + 4) = (3 - 2a)(3a + 4)$.

Ответ: $(3 - 2a)(3a + 4)$.

1. Решим уравнение $24b^2 + 5b - 36 = 0$.

2. Дискриминант ($a=24, b=5, c=-36$):

$D = 5^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-36) = 25 + 3456 = 3481$.

3. Корни уравнения:

$b_1 = \frac{-5 + \sqrt{3481}}{2 \cdot 24} = \frac{-5 + 59}{48} = \frac{54}{48} = \frac{9}{8}$.

$b_2 = \frac{-5 - \sqrt{3481}}{2 \cdot 24} = \frac{-5 - 59}{48} = \frac{-64}{48} = -\frac{4}{3}$.

4. Разложение на множители:

$24(b - \frac{9}{8})(b - (-\frac{4}{3})) = 24(b - \frac{9}{8})(b + \frac{4}{3})$.

5. Представим $24$ как $8 \cdot 3$ и внесем множители в скобки:

$(8(b - \frac{9}{8}))(3(b + \frac{4}{3})) = (8b - 9)(3b + 4)$.

Ответ: $(8b - 9)(3b + 4)$.

РАССУЖДАЕМ (542–543)

542 Найдите все целые значения $m$, при которых квадратный трёхчлен можно разложить на линейные двучлены с целыми коэффициентами:

а) $c^2 + mc + 10;$

б) $z^2 + mz + 3;$

в) $x^2 + mx - 21;$

г) $y^2 + my - 12.$

Для того чтобы квадратный трехчлен вида $t^2 + mt + k$ можно было разложить на линейные двучлены с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы его можно было представить в виде $(t+p)(t+q)$, где $p$ и $q$ — целые числа.

Раскрыв скобки, получаем: $(t+p)(t+q) = t^2 + (p+q)t + pq$.

Сравнивая это выражение с исходным трехчленом, получаем систему уравнений:

$p+q = m$

$pq = k$

Таким образом, задача сводится к нахождению всех пар целых чисел $p$ и $q$, произведение которых равно свободному члену трехчлена ($k$), и вычислению их суммы, которая и будет являться искомым значением $m$.

а) Рассмотрим трехчлен $c^2 + mc + 10$.

Здесь свободный член $k=10$. Нам нужно найти все пары целых чисел $(p, q)$, для которых $pq = 10$. Такими парами являются:

1. $p=1, q=10$. Тогда $m = p+q = 1+10=11$.

2. $p=-1, q=-10$. Тогда $m = p+q = -1+(-10)=-11$.

3. $p=2, q=5$. Тогда $m = p+q = 2+5=7$.

4. $p=-2, q=-5$. Тогда $m = p+q = -2+(-5)=-7$.

Возможные значения $m$: $11, -11, 7, -7$.

Ответ: $m \in \{-11, -7, 7, 11\}$.

б) Рассмотрим трехчлен $z^2 + mz + 3$.

Здесь свободный член $k=3$. Пары целых чисел $(p, q)$, для которых $pq = 3$:

1. $p=1, q=3$. Тогда $m = p+q = 1+3=4$.

2. $p=-1, q=-3$. Тогда $m = p+q = -1+(-3)=-4$.

Возможные значения $m$: $4, -4$.

Ответ: $m \in \{-4, 4\}$.

в) Рассмотрим трехчлен $x^2 + mx - 21$.

Здесь свободный член $k=-21$. Пары целых чисел $(p, q)$, для которых $pq = -21$:

1. $p=1, q=-21$. Тогда $m = p+q = 1+(-21)=-20$.

2. $p=-1, q=21$. Тогда $m = p+q = -1+21=20$.

3. $p=3, q=-7$. Тогда $m = p+q = 3+(-7)=-4$.

4. $p=-3, q=7$. Тогда $m = p+q = -3+7=4$.

Возможные значения $m$: $-20, 20, -4, 4$.

Ответ: $m \in \{-20, -4, 4, 20\}$.

г) Рассмотрим трехчлен $y^2 + my - 12$.

Здесь свободный член $k=-12$. Пары целых чисел $(p, q)$, для которых $pq = -12$:

1. $p=1, q=-12$. Тогда $m = p+q = 1+(-12)=-11$.

2. $p=-1, q=12$. Тогда $m = p+q = -1+12=11$.

3. $p=2, q=-6$. Тогда $m = p+q = 2+(-6)=-4$.

4. $p=-2, q=6$. Тогда $m = p+q = -2+6=4$.

5. $p=3, q=-4$. Тогда $m = p+q = 3+(-4)=-1$.

6. $p=-3, q=4$. Тогда $m = p+q = -3+4=1$.

Возможные значения $m$: $-11, 11, -4, 4, -1, 1$.

Ответ: $m \in \{-11, -4, -1, 1, 4, 11\}$.

543 Найдите значение $k$, при котором:

а) разложение на множители трёхчлена $2x^2 + 5x + k$ содержит множитель $(x + 3);

б) разложение на множители трёхчлена $3x^2 - 8x + k$ содержит множитель $(x - 2);

в) разложение на множители трёхчлена $-4x^2 + kx + 1$ содержит множитель $(x - 1);

г) разложение на множители трёхчлена $2x^2 - 5x + k$ содержит множитель $(2x + 3);

д) разложение на множители трёхчлена $4x^2 - 8x + k$ содержит множитель $(2x - 1)$.

а)

Если разложение на множители трёхчлена $2x^2 + 5x + k$ содержит множитель $(x + 3)$, это означает, что $x = -3$ является корнем этого трёхчлена. Согласно следствию из теоремы Безу, если многочлен имеет корень $a$, то он делится на $(x - a)$. В нашем случае корень множителя $(x+3)$ равен $-3$.

Подставим значение $x = -3$ в выражение трёхчлена и приравняем его к нулю, чтобы найти $k$:

$2(-3)^2 + 5(-3) + k = 0$

$2 \cdot 9 - 15 + k = 0$

$18 - 15 + k = 0$

$3 + k = 0$

$k = -3$

Ответ: $k = -3$.

б)

Если разложение на множители трёхчлена $3x^2 - 8x + k$ содержит множитель $(x - 2)$, это означает, что $x = 2$ является корнем этого трёхчлена.

Подставим значение $x = 2$ в выражение и приравняем его к нулю:

$3(2)^2 - 8(2) + k = 0$

$3 \cdot 4 - 16 + k = 0$

$12 - 16 + k = 0$

$-4 + k = 0$

$k = 4$

Ответ: $k = 4$.

в)

Если разложение на множители трёхчлена $-4x^2 + kx + 1$ содержит множитель $(x - 1)$, это означает, что $x = 1$ является корнем этого трёхчлена.

Подставим значение $x = 1$ в выражение и приравняем его к нулю:

$-4(1)^2 + k(1) + 1 = 0$

$-4 + k + 1 = 0$

$-3 + k = 0$

$k = 3$

Ответ: $k = 3$.

г)

Если разложение на множители трёхчлена $2x^2 - 5x + k$ содержит множитель $(2x + 3)$, это означает, что корень этого множителя является и корнем трёхчлена. Найдём корень множителя:

$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -3/2$.

Подставим значение $x = -3/2$ в выражение трёхчлена и приравняем его к нулю:

$2(-3/2)^2 - 5(-3/2) + k = 0$

$2 \cdot (9/4) + 15/2 + k = 0$

$9/2 + 15/2 + k = 0$

$24/2 + k = 0$

$12 + k = 0$

$k = -12$

Ответ: $k = -12$.

д)

Если разложение на множители трёхчлена $4x^2 - 8x + k$ содержит множитель $(2x - 1)$, то корень этого множителя также является корнем трёхчлена. Найдём корень множителя:

$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = 1/2$.

Подставим значение $x = 1/2$ в выражение трёхчлена и приравняем его к нулю:

$4(1/2)^2 - 8(1/2) + k = 0$

$4 \cdot (1/4) - 4 + k = 0$

$1 - 4 + k = 0$

$-3 + k = 0$

$k = 3$

Ответ: $k = 3$.