Страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (528–529)

528 Составьте квадратное уравнение, если известно, что:

a) $x_1x_2=12, x_1^2 + x_2^2 = 40;$

б) $x_1x_2 = -3, x_1^2 + x_2^2 = 10.$

Указание. Найдите сумму корней уравнения, воспользовавшись формулой квадрата суммы двух чисел.

Для составления квадратного уравнения вида $x^2+px+q=0$, где $x_1$ и $x_2$ являются его корнями, воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, для приведенного квадратного уравнения справедливы следующие соотношения:

• $x_1 + x_2 = -p$
• $x_1 \cdot x_2 = q$

Таким образом, уравнение можно записать в виде $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$.

В обоих пунктах задачи нам известно произведение корней $x_1x_2$, что соответствует коэффициенту $q$. Нам необходимо найти сумму корней $x_1+x_2$. Для этого воспользуемся указанием и формулой квадрата суммы двух чисел: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Применительно к корням уравнения: $(x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Выразим отсюда квадрат суммы корней: $(x_1+x_2)^2 = (x_1^2+x_2^2) + 2(x_1x_2)$.

a) Дано: $x_1x_2=12$ и $x_1^2+x_2^2=40$.

1. Найдем сумму корней. Подставим известные значения в выведенную формулу:

$(x_1+x_2)^2 = 40 + 2 \cdot 12 = 40 + 24 = 64$.

Из этого следует, что сумма корней может принимать два значения:

$x_1+x_2 = \sqrt{64} = 8$ или $x_1+x_2 = -\sqrt{64} = -8$.

2. Составим квадратные уравнения для каждого случая.

Случай 1: $x_1+x_2 = 8$ и $x_1x_2 = 12$.

Уравнение имеет вид: $x^2 - (8)x + 12 = 0$, то есть $x^2 - 8x + 12 = 0$.

Случай 2: $x_1+x_2 = -8$ и $x_1x_2 = 12$.

Уравнение имеет вид: $x^2 - (-8)x + 12 = 0$, то есть $x^2 + 8x + 12 = 0$.

Оба уравнения удовлетворяют исходным условиям.

Ответ: $x^2 - 8x + 12 = 0$ или $x^2 + 8x + 12 = 0$.

б) Дано: $x_1x_2=-3$ и $x_1^2+x_2^2=10$.

1. Найдем сумму корней. Подставим известные значения в формулу:

$(x_1+x_2)^2 = 10 + 2 \cdot (-3) = 10 - 6 = 4$.

Сумма корней может принимать два значения:

$x_1+x_2 = \sqrt{4} = 2$ или $x_1+x_2 = -\sqrt{4} = -2$.

2. Составим квадратные уравнения для каждого случая.

Случай 1: $x_1+x_2 = 2$ и $x_1x_2 = -3$.

Уравнение имеет вид: $x^2 - (2)x + (-3) = 0$, то есть $x^2 - 2x - 3 = 0$.

Случай 2: $x_1+x_2 = -2$ и $x_1x_2 = -3$.

Уравнение имеет вид: $x^2 - (-2)x + (-3) = 0$, то есть $x^2 + 2x - 3 = 0$.

Оба уравнения являются решением задачи.

Ответ: $x^2 - 2x - 3 = 0$ или $x^2 + 2x - 3 = 0$.

529 Уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$. Выразите че- рез коэффициенты $p$ и $q$:

a) $x_1^2 + x_2^2$;

б) $x_1^3 + x_2^3$;

в) $x_1^4 + x_2^4$.

Для решения данной задачи мы будем использовать теорему Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, для корней уравнения $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

Цель состоит в том, чтобы выразить требуемые выражения через элементарные симметрические многочлены $(x_1 + x_2)$ и $(x_1 x_2)$, а затем подставить вместо них $-p$ и $q$.

а) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы выразить сумму квадратов корней, воспользуемся известным тождеством, которое получается из формулы квадрата суммы $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Выразим из него искомую сумму:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим значения из теоремы Виета:

$x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2(q) = p^2 - 2q$

Ответ: $p^2 - 2q$.

б) $x_1^3 + x_2^3$

Для нахождения суммы кубов корней можно использовать формулу суммы кубов или тождество, вытекающее из формулы куба суммы $(x_1 + x_2)^3$. Воспользуемся вторым способом.

$(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3 = (x_1^3 + x_2^3) + 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

Выразим из этого тождества сумму кубов:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим значения $-p$ и $q$:

$x_1^3 + x_2^3 = (-p)^3 - 3(q)(-p) = -p^3 + 3pq$

Ответ: $-p^3 + 3pq$.

в) $x_1^4 + x_2^4$

Сумму четвертых степеней можно рассматривать как сумму квадратов вторых степеней: $x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2)^2 + (x_2^2)^2$.

Применим тождество для суммы квадратов, аналогичное пункту а), но для выражений $x_1^2$ и $x_2^2$:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1^2x_2^2) = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$

Из пункта а) мы уже знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q$. Подставим это выражение, а также значение $x_1x_2 = q$:

$x_1^4 + x_2^4 = (p^2 - 2q)^2 - 2(q)^2$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(p^2 - 2q)^2 - 2q^2 = (p^4 - 4p^2q + 4q^2) - 2q^2 = p^4 - 4p^2q + 2q^2$

Ответ: $p^4 - 4p^2q + 2q^2$.

530 Исследуем

1) Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равна нулю, то одним из корней этого уравнения является число 1.

2) Составьте какое-нибудь квадратное уравнение, имеющее корень, равный 1, и найдите второй корень этого уравнения.

3) Найдите устно корни уравнения:

а) $x^2 - 1999x + 1998 = 0$;

б) $x^2 + 2000x - 2001 = 0$;

в) $8x^2 - 5x - 3 = 0$;

г) $100x^2 - 150x + 50 = 0$.

1)

Рассмотрим квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. По условию, сумма его коэффициентов равна нулю: $a + b + c = 0$.

Корень уравнения – это такое значение переменной $x$, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Чтобы доказать, что число 1 является корнем данного уравнения, подставим $x = 1$ в левую часть уравнения:

$a \cdot (1)^2 + b \cdot (1) + c = a \cdot 1 + b + c = a + b + c$.

Поскольку по условию $a + b + c = 0$, то при $x = 1$ левая часть уравнения обращается в ноль, и мы получаем верное равенство $0 = 0$. Следовательно, $x = 1$ является корнем уравнения, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

Чтобы составить квадратное уравнение с корнем, равным 1, воспользуемся свойством из пункта 1: выберем коэффициенты $a$, $b$ и $c$ ($a \neq 0$) так, чтобы их сумма была равна нулю.

Например, пусть $a = 5$ и $b = -2$. Тогда для выполнения условия $a + b + c = 0$ необходимо, чтобы $c = -(a+b) = -(5-2) = -3$.

Таким образом, мы получаем квадратное уравнение $5x^2 - 2x - 3 = 0$. Один из его корней, по построению, $x_1 = 1$.

Для нахождения второго корня $x_2$ воспользуемся теоремой Виета, согласно которой произведение корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равно $\frac{c}{a}$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим известные значения: $1 \cdot x_2 = \frac{-3}{5}$.

Отсюда второй корень $x_2 = -\frac{3}{5}$.

Ответ: Пример уравнения: $5x^2 - 2x - 3 = 0$. Второй корень этого уравнения: $-\frac{3}{5}$.

3)

Для устного нахождения корней воспользуемся свойством, доказанным в пункте 1, и теоремой Виета.

а) $x^2 - 1999x + 1998 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-1999$, $c=1998$. Сумма коэффициентов: $1 + (-1999) + 1998 = 1 - 1999 + 1998 = 0$. Следовательно, один из корней $x_1 = 1$. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1998}{1} = 1998$. Тогда $1 \cdot x_2 = 1998$, откуда $x_2 = 1998$.

Ответ: $1; 1998$.

б) $x^2 + 2000x - 2001 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2000$, $c=-2001$. Сумма коэффициентов: $1 + 2000 + (-2001) = 2001 - 2001 = 0$. Следовательно, один из корней $x_1 = 1$. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2001}{1} = -2001$. Тогда $1 \cdot x_2 = -2001$, откуда $x_2 = -2001$.

Ответ: $1; -2001$.

в) $8x^2 - 5x - 3 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=8$, $b=-5$, $c=-3$. Сумма коэффициентов: $8 + (-5) + (-3) = 8 - 5 - 3 = 0$. Следовательно, один из корней $x_1 = 1$. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{8}$. Тогда $1 \cdot x_2 = -\frac{3}{8}$, откуда $x_2 = -\frac{3}{8}$.

Ответ: $1; -\frac{3}{8}$.

г) $100x^2 - 150x + 50 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=100$, $b=-150$, $c=50$. Сумма коэффициентов: $100 + (-150) + 50 = 150 - 150 = 0$. Следовательно, один из корней $x_1 = 1$. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$. Тогда $1 \cdot x_2 = \frac{1}{2}$, откуда $x_2 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $1; \frac{1}{2}$.